"Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни", Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Функция y = sin x каждому действительному числу сопоставляет его синус. Её график — периодическая волна, которая повторяется через 2π и проходит через начало координат. Синус принимает значения от −1 до 1, а его нули, промежутки знакопостоянства, возрастания и убывания можно определить по одной волне графика. Эти свойства помогают строить графики и решать тригонометрические уравнения и неравенства.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция y = sin x каждому действительному числу x ставит в соответствие его синус. Здесь x — аргумент, то есть входное значение, а y — полученное значение функции. Синус угла можно найти по единичной окружности: это ордината точки, соответствующей углу. Такое обозначение позволяет изучать зависимость между углом и его синусом.
Период функции — ненулевое число T, при прибавлении которого к любому аргументу значение функции не меняется: f(x + T) = f(x). Для синуса наименьший положительный период равен 2π. Период показывает, как часто повторяется график, и помогает не вычислять значения функции для каждого большого угла заново.
Функция называется нечётной, если для каждого x из её области определения выполняется f(−x) = −f(x). У синуса это свойство записывается так: sin(−x) = −sin x. Оно связывает значения функции при противоположных аргументах и позволяет восстановить одну часть графика по другой.
Нуль функции — такое значение аргумента, при котором функция равна нулю. Для синуса нулями являются все числа x = πk, где k ∈ Z, то есть целое число. Эта запись сразу перечисляет бесконечно много корней уравнения sin x = 0 и показывает, где график пересекает ось x.
Синус определён для любого действительного x, потому что любое такое число задаёт угол в радианной мере. На единичной окружности каждому углу соответствует точка, а синус равен её ординате. Координата точки окружности не может быть меньше −1 или больше 1, поэтому область определения — все действительные числа, а множество значений ограничено от −1 до 1. Это два разных множества: первое относится к x, второе — к y.
При увеличении угла на 2π совершается полный оборот по единичной окружности, и конечная точка совпадает с начальной. Поэтому синусы углов x и x + 2π одинаковы, а участок графика длины 2π повторяется снова и снова. Достаточно построить график на одном промежутке такой длины, после чего перенести его вправо и влево. При сдвиге на π получается противоположная точка окружности, а значит, синус меняет знак, поэтому π не является периодом.
Из равенства sin(−x) = −sin x следует, что точкам графика (x; sin x) соответствуют точки (−x; −sin x). Координаты обеих точек противоположны, а значит, одну можно получить из другой поворотом на 180° вокруг начала координат. Поэтому график синуса симметричен относительно начала координат. Эта симметрия помогает построить значения при отрицательных x, если известен график при положительных x.
Форму одной волны задают значения в ключевых точках: sin 0 = 0, sin(π/2) = 1, sin π = 0, sin(3π/2) = −1 и sin 2π = 0. Сначала отмечают точки (0; 0), (π/2; 1), (π; 0), (3π/2; −1) и (2π; 0), затем соединяют их плавной кривой. Между ними синус изменяется непрерывно: поднимается к единице, опускается к нулю и далее к минус единице. Повтор этой волны через 2π даёт весь график.
График помогает определить, где функция выше оси x, а где ниже: между соседними нулями знак не меняется. На участке от 0 до π синус положителен, а от π до 2π — отрицателен; периодичность переносит эти интервалы на другие волны. По направлению кривой видно, что на каждой волне она сначала возрастает до максимума, затем убывает до минимума и снова возрастает. Вершины и нижние точки дают наибольшее значение 1 и наименьшее −1.
| Свойство | Значение или описание |
|---|---|
| Область определения | Все действительные числа, R |
| Множество значений | [−1; 1] |
| Чётность | Нечётная: sin(−x) = −sin x |
| Период | Наименьший положительный период — 2π |
| Нули функции | x = πk, k ∈ Z |
| Промежутки возрастания и убывания | Возрастает на [−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk]; убывает на [π/2 + 2πk; 3π/2 + 2πk], k ∈ Z |
| Наибольшее и наименьшее значения | Максимум 1 при x = π/2 + 2πk; минимум −1 при x = 3π/2 + 2πk, k ∈ Z |
Таблица помогает быстро выбрать нужное свойство: например, формулу нулей — для решения уравнения, а период и интервалы монотонности — для построения графика. Буква k означает любое целое число, поэтому формулы описывают все повторяющиеся значения, а не только одну волну. При проверке задачи сначала уточните, требуется ли значение функции или аргумент.
Задача 1. Найдите значения sin x при x = 0, π/2, π и 3π/2 и отметьте соответствующие точки на координатной плоскости. Чтобы не вычислять синус по формуле, используем значения ординат на единичной окружности. Каждое найденное значение будет второй координатой точки, а заданный x — первой. Так получим опорные точки для построения графика.
Ответ: значения синуса равны 0, 1, 0 и −1; точки — (0; 0), (π/2; 1), (π; 0), (3π/2; −1). Проверьте, что наибольшее из найденных значений не превышает 1, а наименьшее не меньше −1. Расположение точек показывает подъём волны, её пересечение оси x и последующее падение.
Задача 2. Найдите нули функции y = sin x и укажите промежутки, на которых она положительна и отрицательна. Сначала найдём места пересечения графика с осью x, решив уравнение sin x = 0. Затем рассмотрим знак между соседними нулями: непрерывный график не может сменить знак, не пересекая ось. Достаточно определить знак на одной волне и учесть периодичность.
Ответ: нули — x = πk, k ∈ Z; функция положительна на (2πk; π + 2πk) и отрицательна на (π + 2πk; 2π + 2πk), k ∈ Z. Границы интервалов не включены, потому что на них синус равен нулю. Например, при k = 0 получаем положительный участок (0; π) и отрицательный участок (π; 2π).
Задача 3. Постройте график y = sin x на промежутке [−2π; 2π] и укажите промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума. Экстремум — это точка, в которой функция достигает максимума или минимума. Удобнее построить одну волну по ключевым точкам, затем воспользоваться периодичностью и симметрией для частей графика с отрицательными x. После этого отмечаем вершины и нижние точки на заданном промежутке.
Ответ: максимумы находятся в точках (−3π/2; 1) и (π/2; 1), минимумы — в точках (−π/2; −1) и (3π/2; −1). На перечисленных промежутках график соответственно возрастает и убывает. На концах отрезка он проходит через точки (−2π; 0) и (2π; 0), что согласуется с периодом 2π.
Область определения иногда записывают как [−1; 1], смешивая допустимые аргументы со значениями функции. Это происходит потому, что обе характеристики описывают числа, но относятся к разным переменным. Проверьте себя вопросом: «Какие x можно подставить?» — ответом будут все действительные числа; ограничение [−1; 1] относится к y.
Периодом синуса ошибочно считают π, поскольку за такой сдвиг график снова пересекает ось x. Однако при x + π значение меняет знак: sin(x + π) = −sin x, поэтому к прежнему оно обычно не возвращается. Проверьте предполагаемый период подстановкой, например x = π/2: значения sin(π/2) и sin(3π/2) равны 1 и −1.
При поиске нулей могут записать только 0 и π, забыв, что график повторяется бесконечно. Обычно это случается, когда рассматривают лишь один отрезок построения и не переходят к общему виду. Проверьте ответ подстановкой: формула x = πk, k ∈ Z включает и 0, и π, и все остальные кратные π.
Максимум и минимум иногда меняют местами или указывают неверные абсциссы: максимум равен 1 при x = π/2 + 2πk, минимум равен −1 при x = 3π/2 + 2πk. Путаница возникает из-за одинакового вида волн, особенно при переносе графика на соседние периоды. Сверьте высоту точки с её положением: верхняя вершина имеет y = 1, нижняя — y = −1.
Для изучения синуса нужны значения функции на единичной окружности, радианная мера угла и умение отмечать точки на координатной плоскости. Если эти основы знакомы, ключевые точки волны можно находить и наносить без дополнительных построений. Свойства синуса используют при решении тригонометрических уравнений и неравенств: график помогает увидеть корни и знаки функции. График y = sin x также служит основой для изучения преобразований графиков и других тригонометрических функций.
Почему синус определён для любого действительного числа?
Любое действительное число можно рассматривать как радианную меру угла на единичной окружности. Синус этого угла — ордината соответствующей точки окружности, а такая точка существует для любого угла.
Чем область определения синуса отличается от множества его значений?
Область определения — это все допустимые значения аргумента x; для синуса это все действительные числа. Множество значений — числа, которые может принимать y, и оно ограничено от −1 до 1.
Почему период синуса равен 2π, а не π?
При повороте на 2π мы возвращаемся к той же точке единичной окружности, поэтому синус повторяет значение. При повороте на π точка становится противоположной, и sin(x + π) = −sin x, так что значения обычно меняют знак, а не повторяются.
Как записать все нули функции y = sin x?
Нули задаются формулой x = πk, где k ∈ Z. Это все целые кратные π: например, −2π, −π, 0, π и 2π.
Как по графику синуса определить точки максимума и минимума?
Максимум виден в вершине волны на уровне y = 1, минимум — в нижней точке на уровне y = −1. Их абсциссы имеют вид π/2 + 2πk и 3π/2 + 2πk соответственно, где k ∈ Z.
§ 41. Свойства функции у = sin x и её график
