§ 40. Свойства функции у = cos x и её график

Определения и обозначения

Косинус числа x — ордината точки единичной окружности, соответствующей углу x; функцию записывают формулой y = cos x. Здесь ординатой называют координату точки по вертикальной оси. Такое геометрическое определение позволяет находить косинусы не только острых углов, но и любых действительных чисел.

Период функции — положительное число T, при сдвиге аргумента на которое значения не меняются: f(x + T) = f(x). Для косинуса наименьший положительный период равен 2π. Период нужен, чтобы описывать повторяющийся график и не исследовать заново каждую его часть.

Чётной называют функцию, для которой f(−x) = f(x) при всех x из области определения. Косинус чётный: cos(−x) = cos x. Это свойство помогает переносить известные значения с положительных аргументов на отрицательные, а график такой функции симметричен относительно оси y.

Область значений — множество всех чисел, которые функция может принимать; у y = cos x это отрезок [−1; 1]. Не следует путать его с областью определения, то есть множеством допустимых аргументов. Область значений показывает, какие высоты может занимать график.

Как это устроено

Чтобы определить cos x, отложим на единичной окружности угол x от положительного направления оси абсцисс и найдём соответствующую точку. Её абсцисса и будет значением косинуса. Поворот можно выполнить на любой угол, в том числе отрицательный и больший 2π, поэтому ограничений на действительное x нет.

Радиус единичной окружности равен 1, значит, любая её точка находится не дальше единицы от начала координат. Поэтому абсцисса точки не может выйти за границы от −1 и 1. Значение 1 получается в точке (1; 0), а значение −1 — в точке (−1; 0), так что обе границы входят в область значений.

Углам x и −x соответствуют точки, расположенные зеркально относительно оси абсцисс. При отражении вертикальная координата меняет знак, но горизонтальная остаётся той же. Поскольку косинус — горизонтальная координата, получаем cos(−x) = cos x; отсюда следует симметрия графика относительно оси y.

Полный оборот составляет 2π радиан: после него точка на окружности возвращается в исходное положение. Значит, для любого x координаты точки при углах x и x + 2π совпадают, а значения косинуса повторяются. Сдвиг на π, напротив, переводит точку в противоположную и меняет знак абсциссы, поэтому π не является периодом косинуса.

На графике между соседними максимумом и минимумом кривая идёт вниз, а между минимумом и следующим максимумом — вверх. Нули находятся между этими вершинами и помогают увидеть, где график пересекает ось x. Повторение участков через 2π показывает, что функция убывает на [2πk; π + 2πk] и возрастает на [π + 2πk; 2π + 2πk], где k ∈ Z.

Основные свойства функции y = cos x

Таблица собирает свойства, которые можно читать вместе: нули и экстремумы задают ключевые точки графика, а период позволяет повторить их расположение. В формулах с k берут любые целые числа, чтобы получить точки и промежутки на всей числовой прямой. Для ограниченного промежутка оставляют только те значения, которые в него попадают.

Разбор задач

Задача 1

Найдите cos x, если x = 0, π/2, π и 2π. Углам соответствуют точки на единичной окружности, поэтому достаточно определить их абсциссы. Проверим также, что значение при 2π повторяет значение при 0.

1. При x = 0 получаем точку (1; 0), поэтому cos 0 = 1.
2. При x = π/2 точка имеет координаты (0; 1), поэтому cos(π/2) = 0.
3. При x = π получаем точку (−1; 0), поэтому cos π = −1.
4. Угол 2π соответствует полному обороту и той же точке, что угол 0; значит, cos 2π = 1.

Значения согласуются с расположением точек на окружности и с периодом 2π: после полного оборота косинус возвращается к исходному значению. Ответ: 1, 0, −1, 1.

Задача 2

Решите уравнение cos x = 0 на промежутке [−π; 2π]. Ноль косинуса возникает, когда абсцисса точки окружности равна нулю. Сначала запишем все решения на числовой прямой, а затем проверим границы заданного промежутка.

1. Общая формула нулей: x = π/2 + πk, где k ∈ Z.
2. Требуем −π ≤ π/2 + πk ≤ 2π. Вычитая π/2 и деля на π, получаем −3/2 ≤ k ≤ 3/2.
3. Целые числа в этих границах: k = −1, 0, 1.
4. Подставляем их в формулу: x = −π/2, π/2, 3π/2.

Все три числа принадлежат заданному промежутку, а других целых k, удовлетворяющих условию, нет. Ответ: x = −π/2, π/2, 3π/2.

Задача 3

Определите наибольшее и наименьшее значения функции y = 2 cos x − 1 и укажите, при каких x они достигаются. Сначала используем известные границы −1 ≤ cos x ≤ 1. Умножение на положительное число 2 сохраняет порядок границ, а вычитание единицы сдвигает обе границы вниз.

1. Из −1 ≤ cos x ≤ 1 получаем −2 ≤ 2 cos x ≤ 2.
2. Вычитаем 1: −3 ≤ 2 cos x − 1 ≤ 1.
3. Наибольшее значение 1 достигается, когда cos x = 1, то есть при x = 2πk.
4. Наименьшее значение −3 достигается, когда cos x = −1, то есть при x = π + 2πk, где k ∈ Z.

Границы полученного диапазона действительно достигаются, потому что косинус принимает значения 1 и −1. Ответ: максимум равен 1 при x = 2πk, минимум равен −3 при x = π + 2πk, k ∈ Z.

Типичные ошибки

Ошибка: указывать область значений как все действительные числа. Так думают, если смешивают возможные аргументы x с результатами функции, хотя косинус является координатой точки единичной окружности. Проверка простая: абсцисса такой точки всегда от −1 до 1.

Ошибка: считать π периодом. При сдвиге на π точка окружности переходит в противоположную, и косинус меняет знак: cos(x + π) = −cos x. Чтобы проверить период, подставьте, например, x = 0: cos 0 = 1, а cos π = −1, поэтому равенство для периода π не выполняется.

Ошибка: называть косинус нечётной функцией или приписывать ему свойство синуса. Для косинуса верно cos(−x) = cos x, поскольку при отражении точки относительно оси абсцисс её абсцисса сохраняется. Самопроверка: сравните значения при x и −x, например cos(π/3) и cos(−π/3) — они равны.

Ошибка: записывать нули как x = πk. Эти числа соответствуют точкам, где косинус равен 1 или −1, а не нулю; путаница возникает из-за неверного расположения характерных углов на окружности. Подставьте x = 0: cos 0 = 1, значит, формула нулей должна давать x = π/2 + πk.

Связь с другими темами

Для работы с косинусом нужны единичная окружность, радианная мера угла и определение косинуса действительного числа. Они объясняют, как каждому аргументу соответствует точка и почему её координата задаёт значение функции. Если эти понятия знакомы, свойства косинуса можно вывести геометрически, а не заучивать отдельно.

Периодичность, чётность и диапазон значений пригодятся при построении и преобразовании тригонометрических графиков. С их помощью можно находить решения уравнений и неравенств, ограничивать значения выражений и анализировать сдвиги или растяжения графика. Эти приёмы переносятся и на другие тригонометрические функции.

Что запомнить

• Область определения функции y = cos x — все действительные числа.
• Область значений косинуса — [−1; 1].
• Косинус — чётная функция: cos(−x) = cos x.
• Наименьший положительный период косинуса равен 2π.
• Нули функции: x = π/2 + πk, где k — целое число.
• Максимум равен 1 при x = 2πk, минимум равен −1 при x = π + 2πk.
• На каждом периоде график убывает от 1 до −1, затем возрастает от −1 до 1.