§ 39. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций

Определения и обозначения

Функция называется чётной, если вместе с каждым числом x из её области определения в ней есть и число −x, а для всех таких x выполняется f(−x) = f(x). Это значит, что значения справа и слева от нуля совпадают, поэтому график симметричен относительно оси Oy. Определение помогает сразу использовать симметрию при исследовании функции.

Функция называется нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля и f(−x) = −f(x). При противоположных аргументах значения функции тоже противоположны, поэтому график симметричен относительно начала координат. Если ни одно из двух равенств не выполняется, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Число T ≠ 0 называется периодом функции, если f(x + T) = f(x) для всех x, для которых выражение имеет смысл. Если у функции есть наименьший положительный период, его называют основным периодом. Это понятие позволяет узнать, через какой промежуток значения и график функции повторяются.

Как это устроено

Чётность и нечётность проверяют подстановкой −x вместо x, но сначала рассматривают область определения. Она должна содержать оба числа x и −x: иначе равенство f(−x) = f(x) или f(−x) = −f(x) нельзя проверить для всех допустимых аргументов. Например, у тангенса исключены точки π/2 + πk, и вместе с каждой такой точкой исключена противоположная, поэтому область определения подходит для проверки нечётности.

У синуса выполняется равенство sin(−x) = −sin x, поэтому синус нечётный; у косинуса cos(−x) = cos x, поэтому косинус чётный. Эти свойства следуют из расположения точек на единичной окружности: смена x на −x отражает точку относительно горизонтальной оси, сохраняет её абсциссу и меняет знак ординаты. Тангенс равен отношению синуса к косинусу, поэтому tg(−x) = −tg x; котангенс также нечётный, так как ctg(−x) = −ctg x.

Периодичность появляется потому, что после полного оборота на единичной окружности точка возвращается к исходному положению. Поэтому sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x, а их основной период равен 2π. Тангенс и котангенс — отношения координат точки, и при повороте на π обе координаты меняют знак, но их отношение сохраняется; их основной период равен π.

Если аргумент умножен на число, период обычно меняется. Например, чтобы sin 3x повторил прежнее значение, аргумент 3x должен увеличиться на 2π, значит, x увеличивается на 2π/3. В общем случае у sin ax и cos ax при a ≠ 0 основной период равен 2π/|a|, а у tg ax и ctg ax — π/|a|. Для выражений из нескольких слагаемых нельзя автоматически объявлять периодом любой период одного слагаемого: надо проверить повторение всего выражения.

Свойства тригонометрических функций

Сначала найдите нужную строку по формуле функции, затем сверьте чётность и период. Ограничения показывают, какие значения аргумента нельзя подставлять: для тангенса это точки, где cos x = 0, а для котангенса — где sin x = 0. Буква k обозначает любое целое число.

Разбор задач

Задача: определить чётность и основной период функции f(x) = sin 3x · cos 3x. На первый взгляд произведение нечётной и чётной функций должно быть нечётным, но период произведения лучше проверить через преобразование формулы. Такой ход позволяет не угадывать свойства по виду выражения, а обосновать ответ.

1. Проверим область определения: синус и косинус определены при любых действительных x, значит, вместе с x функция определена и при −x. Это необходимое условие для проверки чётности выполнено.

2. Подставим −x: f(−x) = sin(−3x) · cos(−3x). Используем sin(−3x) = −sin 3x и cos(−3x) = cos 3x; поэтому f(−x) = −sin 3x · cos 3x = −f(x). Следовательно, функция нечётная.

3. Чтобы найти период, применим формулу двойного угла sin 2a = 2 sin a cos a. Получаем f(x) = ½ sin 6x, а синус sin 6x имеет основной период 2π/6 = π/3. Значит, π/3 — период исходной функции.

4. Проверим, не может ли у функции быть меньший положительный период: преобразование даёт ровно половину синуса sin 6x, а множитель ½ не меняет период. У sin 6x основной период π/3, поэтому меньшего положительного периода нет.

Ответ: функция нечётная, её основной период равен π/3. В решении отдельно проверены симметрия области определения и равенство для −x, а для периода выражение упрощено до одной тригонометрической функции. Такой порядок удобен и для других произведений и сумм.

Типичные ошибки

Ошибка: проверять чётность только по формуле, забывая об области определения. Так делают, когда подстановка −x кажется чисто алгебраической, но функция может быть определена лишь с одной стороны от нуля. Проверьте, что каждое допустимое x сопровождается допустимым −x; иначе функция не может быть чётной или нечётной.

Ошибка: считать, что функция, не являющаяся чётной, обязательно нечётная. Эти свойства не исчерпывают все функции, и нередко не выполняется ни одно равенство. Подставьте −x и сравните результат отдельно с f(x) и с −f(x), не делая вывод по одному неудачному сравнению.

Ошибка: называть периодом только наименьшее положительное число или путать периоды sin x и tg x. Периодами являются и положительные кратные основного периода, а у тангенса повторение происходит быстрее, чем у синуса. Подставьте x + T в формулу и проверьте, что равенство выполняется при всех допустимых x.

Ошибка: переносить период отдельного слагаемого на сумму без проверки. У слагаемых могут быть разные периоды, а у всей функции период может быть другим или отсутствовать. Подставьте предполагаемое x + T во всё выражение; сокращать или преобразовывать его можно только при сохранении исходного равенства.

Связь с другими темами

Чётность и нечётность продолжают изучение свойств функций и помогают сокращать работу при построении графиков: достаточно исследовать одну часть, а вторую получить симметрией. Периодичность связана с единичной окружностью и определением тригонометрических функций, поскольку поворот на полный или половинный оборот возвращает повторяющиеся значения. Эти свойства используют при упрощении тригонометрических выражений и дальнейшем исследовании уравнений и графиков.

Что запомнить

• Чётность проверяют равенством f(−x) = f(x), нечётность — равенством f(−x) = −f(x); в обоих случаях область определения должна быть симметрична относительно нуля.
• sin x — нечётная, cos x — чётная; tg x и ctg x — нечётные.
• Основные периоды синуса и косинуса равны 2π, тангенса и котангенса — π.
• У функций sin ax и cos ax основной период 2π/|a|, у tg ax и ctg ax — π/|a|, если a ≠ 0.
• Для составных выражений чётность и периодичность проверяй у всей функции, учитывая область определения.