§ 2. Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций

Определения и обозначения

Функция называется чётной, если её область определения симметрична относительно нуля: вместе с каждым допустимым x в неё входит и −x. Для всех таких x должно выполняться f(−x) = f(x). Иными словами, противоположные аргументы дают одинаковые значения; это условие помогает распознать симметрию графика.

Функция называется нечётной, если область определения также симметрична относительно нуля, а для каждого x выполняется f(−x) = −f(x). Значения при противоположных аргументах отличаются только знаком. По этому свойству можно выяснить, обладает ли график симметрией относительно начала координат.

Число T ≠ 0 называют периодом функции, если f(x + T) = f(x) для всех x, при которых оба значения определены. Это означает, что сдвиг аргумента на T не меняет значение функции, и рисунок повторяется. Период помогает переносить вычисления на удобные аргументы и описывать повторяющийся график.

Наименьший положительный период — самый маленький период, который больше нуля. У функции могут быть и другие периоды: если T — период, то его ненулевые целые кратные тоже периоды. Поэтому обнаружить один подходящий шаг недостаточно, когда требуется найти именно наименьший.

Как это устроено

Проверку чётности или нечётности начинают с области определения, потому что равенство содержит значения при x и −x. Если −x не входит в область определения, f(−x) не существует и сравнение невозможно. Например, область определения может исключать отдельные точки так, что вместе с x не всегда допустим −x; в таком случае функция не подходит под определение чётной или нечётной.

Чтобы проверить тригонометрическую функцию, в её формулу подставляют −x и используют формулы для противоположных аргументов: sin(−x) = −sin x, cos(−x) = cos x. Значит, синус нечётный, а косинус чётный. Так как tg x = sin x / cos x, то tg(−x) = −tg x; аналогично ctg(−x) = −ctg x. Области определения тангенса и котангенса тоже симметричны относительно нуля, поэтому они нечётные.

Симметрия графика непосредственно следует из равенства значений. Для чётной функции точки (x, f(x)) и (−x, f(x)) лежат на графике, то есть являются зеркальными относительно оси Oy. Для нечётной функции вместе с (x, f(x)) есть точка (−x, −f(x)); одну точку можно получить из другой поворотом на 180° вокруг начала координат. Отсюда и возникают два разных вида симметрии.

Синус и косинус повторяются при прибавлении 2π: sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x. Тангенс — отношение синуса к косинусу, а при прибавлении π оба меняют знак: sin(x + π) = −sin x и cos(x + π) = −cos x. Минусы в отношении сокращаются, поэтому tg(x + π) = tg x; то же рассуждение действует для котангенса, и его период тоже π.

Условие f(x + T) = f(x) подтверждает, что T является периодом, но не доказывает его наименьшесть: функция может повторяться чаще. Сначала находят положительный общий шаг, подходящий всем частям выражения, затем проверяют возможность меньшего. Для отдельных синуса и косинуса наименьший положительный период 2π, для тангенса и котангенса — π; у суммы период может оказаться меньше общего периода слагаемых, поэтому нужна отдельная проверка.

Чётность и периодичность основных тригонометрических функций

Сначала по таблице удобно проверить, допустим ли аргумент, а затем определить симметрию и период. Формулы для тангенса и котангенса действуют только при аргументах из их областей определения. Обозначение R означает множество всех действительных чисел.

Разбор задач

1. Определить, является ли f(x) = sin x чётной, нечётной или ни той ни другой

Область определения синуса — все действительные числа, а значит, она симметрична относительно нуля. Можно перейти к проверке значений при противоположных аргументах. Сравним f(−x) с f(x) и −f(x), чтобы установить тип симметрии.

1. Подставим −x: f(−x) = sin(−x).
2. Используем формулу sin(−x) = −sin x, поэтому f(−x) = −f(x).
3. Полученное равенство соответствует определению нечётной функции.

Ответ: f(x) = sin x — нечётная функция. Проверка области определения здесь необходима, хотя для синуса она сразу проходит.

2. Определить чётность функции f(x) = cos x + sin x

Область определения суммы — R, поэтому аргументы x и −x всегда допустимы. При замене аргумента косинус сохраняет значение, а синус меняет знак. Проверим, совпадёт ли результат с исходной функцией либо с её противоположностью.

1. Вычислим f(−x) = cos(−x) + sin(−x) = cos x − sin x.
2. Сравним с f(x) = cos x + sin x: выражения не равны для всех x.
3. Сравним с −f(x) = −cos x − sin x: это также не равняется f(−x) для всех x.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная. Сумма чётной и нечётной функций обычно не сохраняет ни один из этих типов симметрии.

3. Найти наименьший положительный период f(x) = sin 2x + cos 3x

Для слагаемых аргумент увеличивается с разной скоростью, поэтому периоды надо учитывать отдельно. Период sin 2x равен 2π/2 = π, а период cos 3x равен 2π/3. Общий период должен быть периодом обоих слагаемых. Найдём наименьшее положительное число, кратное обоим этим шагам.

1. Ищем T, для которого T = mπ = n·2π/3, где m и n — положительные целые числа.
2. Из равенства следует 3m = 2n; наименьший вариант — m = 2, n = 3, поэтому T = 2π.
3. Проверяем: sin 2(x + 2π) = sin(2x + 4π) = sin 2x, а cos 3(x + 2π) = cos(3x + 6π) = cos 3x.
4. Проверка минимальности: общий период слагаемых должен быть и периодом sin 2x, а его периоды — kπ. При k = 1, шаг π не является периодом cos 3x, поэтому меньшего общего периода нет.

Ответ: наименьший положительный период суммы равен 2π. Проверка по каждому слагаемому подтверждает, что это период всей функции.

Типичные ошибки

Ошибка — проверять формулу f(−x), не выяснив область определения. Её допускают, когда сразу подставляют противоположный аргумент и забывают, что функция может там не существовать. Сначала проверьте: для каждого допустимого x допустим ли −x; если нет, условия чётности и нечётности не выполнены.

Наличие синуса в формуле не делает всю функцию нечётной: другие слагаемые могут менять симметрию результата. Это заблуждение возникает из-за переноса свойства одного слагаемого на сумму. Подставьте −x в полную формулу и сравните итог с f(x) и −f(x).

Тангенсу иногда приписывают период 2π по аналогии с синусом. Но это не наименьший период: отношение sin x / cos x возвращает прежнее значение уже через π, поскольку оба слагаемых отношения меняют знак. Для проверки подставьте x + π и убедитесь также, что аргументы остаются допустимыми.

При поиске периода суммы нельзя взять период одного слагаемого или сложить периоды: шаг должен воспроизводить каждое слагаемое. Ошибку провоцирует стремление применить к сумме один известный период без проверки. Найдите общий положительный период, подставьте его в выражение и отдельно проверьте, не подходит ли меньший шаг.

Связь с другими темами

Для работы с чётностью и периодичностью нужны области определения тригонометрических функций, значения синуса и косинуса при противоположных аргументах и основные тригонометрические формулы. Без этих знаний нельзя корректно подставить отрицательный аргумент или проверить, где функция определена. Свойства пригодятся при исследовании функций, преобразовании графиков, решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений. Понимание симметрии и повторяемости помогает сократить вычисления и увидеть структуру задачи.

Что запомнить

• Для чётной функции f(−x) = f(x), а её график симметричен относительно Oy.
• Для нечётной функции f(−x) = −f(x), а её график симметричен относительно начала координат.
• Область определения чётной или нечётной функции должна быть симметрична относительно нуля.
• Наименьший положительный период синуса и косинуса равен 2π.
• Наименьший положительный период тангенса и котангенса равен π.
• Любое ненулевое целое кратное периода также является периодом.