§ 3. Свойства функции y = cosx и ее график

Определения и обозначения

Косинус числа x, обозначаемый cos x, — это абсцисса точки единичной окружности, соответствующей углу x. Абсцисса — координата точки по горизонтальной оси, поэтому косинус показывает, насколько далеко точка находится справа или слева от центра. Это представление позволяет находить значения косинуса для углов и связывать их с геометрией.

Область определения функции y = cos x — множество всех действительных чисел ℝ. Это означает, что допустимо подставить в косинус любое число, в том числе отрицательное или большее 2π. Периодичность графика не ограничивает область определения: значения x повторяются, но функция остаётся заданной на всей числовой прямой.

Период функции — положительное число T, при сдвиге на которое её значения повторяются: f(x + T) = f(x). Для косинуса наименьший положительный период, называемый основным, равен 2π. Период нужен, чтобы описывать повторяющиеся участки графика и не строить их заново для каждого промежутка.

Чётной называют функцию, для которой f(−x) = f(x) при всех x из области определения. Косинус чётный: cos(−x) = cos x. Это свойство позволяет по части графика при x ≥ 0 получить его отражением относительно оси Oy.

Как это устроено

На единичной окружности радиус равен 1, а координаты точки, соответствующей углу x, равны (cos x; sin x). Поскольку точка находится на окружности радиуса 1, её абсцисса не может быть меньше −1 или больше 1. Когда точка проходит левую и правую крайние позиции, абсцисса достигает −1 и 1, поэтому множество значений косинуса — весь отрезок [−1; 1].

Угол x задаёт поворот точки на единичной окружности, а полный оборот равен 2π радиан. После такого поворота точка возвращается туда, откуда начала движение, и её абсцисса снова равна cos x. Значит, cos(x + 2π) = cos x, а график повторяется через 2π; любой его участок длины 2π содержит полный набор значений функции.

Углы x и −x соответствуют точкам окружности, расположенным зеркально относительно горизонтальной оси. При отражении меняется знак ординаты, но абсцисса остаётся прежней, следовательно, cos(−x) = cos x. На графике каждой точке с координатами (x; cos x) соответствует точка (−x; cos x), поэтому ось Oy служит осью симметрии.

На отрезке [0; 2π] удобно отметить пять опорных точек: (0; 1), (π/2; 0), (π; −1), (3π/2; 0), (2π; 1). От 0 до π точка окружности движется от правой крайней позиции к левой, и её абсцисса убывает от 1 до −1. От π до 2π абсцисса растёт обратно до 1; поэтому максимум достигается при x = 0 и 2π, минимум — при x = π, а нули находятся при π/2 и 3π/2.

Чтобы построить график на нескольких периодах, сначала отметьте опорные точки на одном отрезке длины 2π и соедините их плавной волной, сохраняя убывание и возрастание. Затем перенесите этот участок влево и вправо на целое число периодов, поскольку значения через 2π повторяются. По готовому графику видно, что он пересекает ось Ox при x = π/2 + πk, положителен над осью и отрицателен под ней; монотонность также повторяется с каждым периодом.

Основные свойства функции y = cos x

Таблица помогает быстро проверить основные свойства и выбрать нужную формулу для задачи. В записях о промежутках k принимает целые значения, поэтому указаны участки для всех периодов. При построении графика начните с одного периода, а затем используйте периодичность и симметрию.

Разбор задач

Задача 1

Найдите cos x, если x = 0, π/2, π, 3π/2, 2π, и отметьте полученные точки на координатной плоскости. Эти углы соответствуют последовательным четвертям и крайним положениям точки на единичной окружности. Поэтому достаточно определить её абсциссу в каждом положении.

1. При x = 0 точка находится справа на окружности, её абсцисса равна 1: cos 0 = 1.
2. При x = π/2 точка сверху, её абсцисса равна 0: cos(π/2) = 0.
3. При x = π точка слева, поэтому cos π = −1; при x = 3π/2 точка снизу, и cos(3π/2) = 0.
4. Полный оборот заканчивается при x = 2π в правой крайней точке, значит cos 2π = 1. На плоскости отметьте точки (0; 1), (π/2; 0), (π; −1), (3π/2; 0), (2π; 1).

Ответ: значения по порядку равны 1, 0, −1, 0, 1; точки указаны выше.

Задача 2

Решите уравнение cos x = 1/2 на отрезке [0; 2π]. На единичной окружности нужно найти точки с абсциссой 1/2, то есть пересечения окружности с вертикальной прямой x = 1/2. В пределах полного оборота таких точек две: одна в первой четверти, другая в четвёртой.

1. В первой четверти значение косинуса 1/2 соответствует углу π/3.
2. В четвёртой четверти абсцисса такая же, а угол на отрезке [0; 2π] равен 2π − π/3 = 5π/3.
3. Оба найденных угла принадлежат заданному отрезку, поэтому других решений на нём нет.

Ответ: x = π/3 или x = 5π/3.

Задача 3

Решите неравенство cos x ≤ 0 на промежутке [−2π; 2π]. По графику нужно выбрать участки, на которых кривая находится на оси Ox или ниже неё. Косинус неположителен на отрезках от π/2 до 3π/2 и на каждом таком участке, сдвинутом на целое число периодов.

1. Общий вид промежутков с неположительным косинусом: [π/2 + 2πk; 3π/2 + 2πk], где k ∈ Z.
2. Для k = −1 получаем [−3π/2; −π/2], а для k = 0 — [π/2; 3π/2].
3. При k = −2 и k = 1 получаются участки за пределами заданного промежутка, поэтому их не включаем.
4. Концы найденных отрезков входят в ответ, потому что там cos x = 0, а неравенство нестрогое.

Ответ: [−3π/2; −π/2] ∪ [π/2; 3π/2].

Типичные ошибки

Иногда область определения ограничивают промежутком [0; 2π], потому что на нём удобно строить один период. Но повторение значений не запрещает подставлять другие числа: косинус существует для любого действительного x. Проверьте, что область определения записана как ℝ, а не как отрезок одного периода.

Область значений порой указывают как [0; 1], ориентируясь только на первую четверть окружности. В остальных четвертях абсцисса бывает отрицательной, а левая крайняя точка даёт значение −1. Для проверки вспомните cos π = −1 и cos 0 = 1: значит, нужен весь отрезок [−1; 1].

Основным периодом ошибочно называют π, поскольку при таком сдвиге снова встречаются те же по модулю значения. Однако cos(x + π) = −cos x, так что значение обычно меняет знак, а не повторяется. Подставьте x = 0: cos 0 = 1, но cos π = −1; наименьший положительный период — 2π.

Нули косинуса путают с нулями синуса и записывают x = πk. Проверка простым значением показывает ошибку: cos 0 = 1, поэтому нулём 0 не является. Нули находятся в точках x = π/2 + πk, где k ∈ Z; на окружности это верхняя и нижняя точки с нулевой абсциссой.

Связь с другими темами

Для понимания косинуса понадобятся единичная окружность и радианная мера угла: они объясняют, как углу соответствуют координаты точки и почему полный оборот равен 2π. Также полезно знать значения синуса и косинуса для основных углов, чтобы отмечать опорные точки графика. Изученные свойства применяются при решении тригонометрических уравнений и неравенств. Они пригодятся и при исследовании графиков преобразованных функций, например y = cos(x − a) или y = −cos x.

Что запомнить

• Область определения y = cos x — ℝ.
• Область значений — [−1; 1].
• Основной период косинуса равен 2π.
• cos(−x) = cos x: косинус — чётная функция.
• cos x = 0 при x = π/2 + πk, k ∈ ℤ.
• Максимум равен 1, минимум равен −1.