§ 4. Свойства функции y = sinx и ее график

Определения и обозначения

Область определения функции — множество всех значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Для y = sin x аргументом служит угол, и на единичной окружности можно задать поворот на любое действительное число. Поэтому область определения синуса — все действительные числа: D(sin x) = R.

Периодом функции называют такое положительное число T, что f(x + T) = f(x) для всех x из области определения. У синуса наименьший положительный период равен 2π: это полный оборот по единичной окружности. Период показывает, через какое расстояние по оси x график начинает повторяться.

Функция называется нечётной, если для каждого x из её области определения выполняется равенство f(−x) = −f(x). Для синуса это означает sin(−x) = −sin x. Такое свойство помогает находить значения при отрицательных аргументах и описывает симметрию графика относительно начала координат.

Нуль функции — это значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. Для синуса все нули имеют вид x = πk, где k ∈ Z. Эта запись сразу охватывает и ноль, и положительные, и отрицательные корни, а не только несколько заметных точек.

Как это устроено

На единичной окружности углу x соответствует точка, а sin x равен её ординате, то есть координате по вертикали. Вертикальные координаты точек окружности не выходят за пределы от −1 до 1, поэтому любое значение синуса лежит в этом отрезке. Крайние ординаты −1 и 1 действительно достигаются, значит множество значений — весь отрезок [−1; 1]. Если увеличить угол на 2π, точка совершит полный оборот и вернётся туда, откуда начала; её ордината не изменится. Поэтому значения синуса повторяются через 2π.

Углам x и −x соответствуют точки окружности, симметричные относительно горизонтальной оси. При отражении такая точка сохраняет горизонтальную координату, но её ордината меняет знак. Поскольку синус — именно ордината, получаем sin(−x) = −sin x, то есть синус нечётный. Из этого следует, что каждой точке графика (x; sin x) соответствует точка (−x; −sin x), и график симметричен относительно начала координат.

Синус равен нулю там, где точка единичной окружности лежит на горизонтальной оси. Это происходит при углах 0, π, 2π и при продолжении поворота в обе стороны через каждые π радиан. Поэтому общий вид нулей — x = πk, где k — целое число. На числовой оси они расположены равномерно: расстояние между соседними нулями равно π.

Наибольшая ордината единичной окружности равна 1 и достигается в верхней точке. Ей соответствуют углы π/2 и все углы, отличающиеся от него на целое число полных оборотов: x = π/2 + 2πk. Наименьшая ордината равна −1, она достигается в нижней точке при x = 3π/2 + 2πk. Здесь k ∈ Z, потому что после каждого полного оборота значения повторяются.

На отрезке [0; 2π] отметьте точки, соответствующие углам 0, π/2, π, 3π/2 и 2π. Их ординаты равны соответственно 0, 1, 0, −1 и 0; соедините точки плавной волной, учитывая промежуточное изменение значений. Нечётность позволяет отразить полученный участок через начало координат, а периодичность — повторить его с шагом 2π в обе стороны. Так получается график на всей числовой прямой; он называется синусоидой.

Основные свойства функции y = sin x

Таблица собирает свойства, которые удобно проверять при построении графика и решении уравнений. В формулах с k ∈ Z учтены все повторяющиеся точки, а не только те, что попали в один период. Для конкретного промежутка подставьте целые k и оставьте только подходящие значения x.

Разбор задач

Задача 1. Найдите область определения и множество значений функции y = sin x. Используем определение синуса как ординаты точки единичной окружности. Оно сразу даёт как допустимые значения аргумента, так и возможные значения функции.

1. Любой действительный x задаёт поворот по окружности, поэтому ограничений на аргумент нет: D = R.
2. Ордината точки единичной окружности находится между −1 и 1 включительно.
3. Верхняя и нижняя точки окружности имеют ординаты 1 и −1, а промежуточные ординаты также достигаются.

Ответ: область определения — R, множество значений — [−1; 1].

Задача 2. Решите уравнение sin x = 0 на промежутке [−2π; 2π]. Сначала запишем общее решение уравнения, затем проверим, какие целые значения параметра дают корни внутри заданного промежутка. Такой порядок помогает не пропустить отрицательные корни.

1. Нули синуса задаются формулой x = πk, где k ∈ Z.
2. Подставим условие промежутка: −2π ≤ πk ≤ 2π.
3. Так как π положительно, делим неравенство на π и получаем −2 ≤ k ≤ 2. Следовательно, k = −2, −1, 0, 1, 2.
4. Вычисляем корни: −2π, −π, 0, π, 2π.

Ответ: x ∈ {−2π, −π, 0, π, 2π}.

Задача 3. Постройте график y = sin x на отрезке [−2π; 2π] и укажите интервалы возрастания и убывания. Для эскиза сначала отметим нули и точки, в которых синус достигает крайних значений. Затем проследим, как кривая идёт между этими точками, используя повторяемость через 2π.

1. Нули на отрезке: −2π, −π, 0, π, 2π. Максимумы находятся при x = −3π/2 и π/2, минимумы — при x = −π/2 и 3π/2.
2. Поставьте соответствующие точки: в максимумах y = 1, в минимумах y = −1, в нулях y = 0. Проведите через них плавную синусоиду.
3. Синус возрастает на [−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk] и убывает на [π/2 + 2πk; 3π/2 + 2πk], где k ∈ Z.
4. Пересечение этих промежутков с [−2π; 2π] даёт возрастание на [−2π; −3π/2], [−π/2; π/2], [3π/2; 2π] и убывание на [−3π/2; −π/2], [π/2; 3π/2].

Ответ: график проходит через отмеченные нули, максимумы и минимумы; интервалы возрастания и убывания указаны на заданном отрезке.

Типичные ошибки

Иногда область определения записывают как [−1; 1], путая аргумент с результатом функции. Ошибка возникает потому, что именно значения синуса ограничены этим отрезком, а не значения x. Проверка проста: спросите себя, может ли угол быть больше 1 или отрицательным; может, значит аргумент не ограничен, а [−1; 1] — множество значений.

Периодом ошибочно считают π, поскольку sin(x + π) = −sin x. Но период требует совпадения исходного значения, а после сдвига на π оно обычно меняет знак. Подставьте, например, x = π/2: sin(π/2) = 1, а sin(3π/2) = −1; равенства нет, тогда как сдвиг на 2π возвращает значение.

Синус могут назвать чётной функцией, принимая во внимание повторение отдельных значений или путая его с косинусом. Для проверки достаточно сравнить f(−x) и f(x): у синуса sin(−x) = −sin x, поэтому он нечётный. Например, sin(π/2) = 1, а sin(−π/2) = −1, так что значения не равны.

Запись нулей только как 0, π и 2π описывает несколько корней, но не все. При перечислении легко забыть отрицательные значения и следующие периоды. Подставьте в формулу x = πk несколько целых k, включая отрицательные, и проверьте, что она охватывает все пересечения графика с осью x.

Связь с другими темами

Для понимания синуса нужны единичная окружность, радианная мера угла и значения синусов основных углов. Окружность объясняет геометрический смысл функции, а радианы позволяют выражать полный оборот числом 2π. В дальнейшем свойства синуса помогают решать тригонометрические уравнения и неравенства.

График синуса служит основой для изучения преобразований графиков и производных тригонометрических функций. Его периодичность также описывает повторяющиеся процессы, например колебания. Поэтому умение читать синусоиду связывает алгебру с анализом и прикладными задачами.

Что запомнить

• Область определения функции y = sin x — все действительные числа.
• Множество значений синуса — от −1 до 1 включительно.
• Функция y = sin x нечётная: sin(−x) = −sin x.
• Наименьший положительный период синуса равен 2π.
• Нули синуса задаются формулой x = πk, где k — целое число.
• Наибольшее значение синуса равно 1, наименьшее — −1.