§ 1. Область определения и множество значений тригонометрических функций

Определения и обозначения

Тригонометрическая функция — функция, заданная с помощью синуса, косинуса, тангенса или котангенса угла или числа. Она описывает зависимость значения y от аргумента x. Это понятие нужно, чтобы исследовать формулы и графики, а не только вычислять отдельные значения.

Область определения функции — множество всех допустимых значений аргумента x. Если число не входит в эту область, подставлять его в формулу нельзя. По области определения сразу видно, где график функции может существовать.

Множество значений функции — множество всех значений y, которые она принимает. Оно показывает, насколько велики или малы результаты вычислений. Например, для синуса это отрезок [−1; 1], а для тангенса — вся числовая прямая.

Периодическая функция — функция, значения которой повторяются через некоторый положительный период. Если T — период, то f(x + T) = f(x) для всех допустимых x. Период позволяет изучить функцию на одном участке и перенести выводы на всю числовую прямую.

Как это устроено

Синус и косинус определяют по единичной окружности: числу x соответствует поворот радиуса на угол x, измеренный в радианах. После любого поворота радиус заканчивается в некоторой точке окружности, поэтому её координаты существуют. Значит, sin x и cos x имеют область определения R.

Координаты точки единичной окружности не могут быть меньше −1 или больше 1. Поэтому −1 ≤ sin x ≤ 1 и −1 ≤ cos x ≤ 1. Крайние значения достигаются в точках, где соответствующая координата радиуса равна 1 или −1.

Тангенс задаётся формулой tg x = sin x/cos x. При x = π/2 + πk косинус равен нулю, а деление на ноль невозможно, поэтому эти значения исключаются из области определения. Котангенс ctg x = cos x/sin x не существует при x = πk, когда нулю равен синус.

Тангенс и котангенс являются отношениями координат точки единичной окружности. При приближении знаменателя к нулю отношение может становиться сколь угодно большим по модулю, а при разных положениях точки принимает любое действительное значение. Поэтому множество значений обеих функций равно R.

Тригонометрические функции периодичны: синус и косинус повторяются через 2π, тангенс и котангенс — через π. Это помогает описывать не отдельные промежутки, а всю числовую прямую с помощью целого k. Для тангенса и котангенса периодичность также повторяет точки разрыва через одинаковые интервалы.

Область определения и множество значений тригонометрических функций

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите вид функции и проверьте, нет ли ограничений на аргумент. Затем выберите множество значений и учтите возможные преобразования формулы. В выражениях с тангенсом и котангенсом k принимает все целые значения.

Разбор задач

Задача 1

Найдите область определения и множество значений функции y = cos x. У функции нет дополнительных множителей и сдвигов, поэтому достаточно применить основные свойства косинуса. Проверим отдельно допустимые x и возможные y.

1. Косинус определён при любом действительном x, значит, область определения: D = R.
2. Как координата точки единичной окружности, косинус принимает значения от −1 до 1.
3. Следовательно, множество значений: E = [−1; 1].

Ответ: D = R, E = [−1; 1].

Задача 2

Найдите область определения и множество значений функции y = 2 sin x − 1. Сначала определим диапазон синуса, затем умножим все его значения на 2 и вычтем 1. Область определения не изменится, потому что аргумент x остался без преобразований.

1. Для любого x ∈ R выполняется −1 ≤ sin x ≤ 1.
2. После умножения на 2 получаем −2 ≤ 2 sin x ≤ 2.
3. Вычитая 1, получаем −3 ≤ y ≤ 1.
4. Значит, D = R, а E = [−3; 1].

Ответ: область определения — R, множество значений — [−3; 1].

Задача 3

Найдите область определения и множество значений функции y = tg(2x − π/3). Тангенс не определён, когда его аргумент равен π/2 + πk. Поэтому сначала исключим соответствующие x, а затем используем множество значений обычного тангенса.

1. Приравниваем аргумент к запрещённым значениям: 2x − π/3 = π/2 + πk.
2. Получаем 2x = 5π/6 + πk и x = 5π/12 + πk/2.
3. Следовательно, D = R без точек x = 5π/12 + πk/2.
4. Линейное изменение аргумента не ограничивает значения тангенса, поэтому E = R.

Ответ: D = R {5π/12 + πk/2 | k ∈ Z}, E = R.

Типичные ошибки

Ошибка: указывают для тангенса область определения R и забывают точки, где cos x = 0. Так происходит, если запоминают только формулу функции, но не проверяют знаменатель. Проверьте себя: выпишите tg x = sin x/cos x и исключите x = π/2 + πk.

Ошибка: меняют местами условия для тангенса и котангенса. Причина — обе функции связаны с отношением синуса и косинуса, но знаменатели у них разные. Для проверки запомните: tg исключает нули cos x, а ctg — нули sin x.

Ошибка: считают, что значения тангенса лежат в [−1; 1]. Это свойство относится к координатам точки окружности, тогда как тангенс является их отношением. Подставьте угол, близкий к π/2: значение тангенса по модулю становится большим 1.

Ошибка: изменяют область определения функции y = a sin x + b из-за растяжения и сдвига по вертикали. Эти операции меняют значения y, но не запрещают исходные x. Проверьте, изменился ли сам аргумент: если вместо x не появилось новое выражение со знаменателем или корнем, область определения прежняя.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны единичная окружность, радианная мера угла и определения четырёх тригонометрических функций. Без них трудно объяснить ограничения и запрещённые значения аргумента.

Эти сведения используются при построении графиков: область определения показывает, где график существует, а множество значений — в какой полосе по вертикали он расположен. Период помогает повторять изображение на всей числовой прямой.

При решении тригонометрических уравнений и неравенств нужно отбрасывать недопустимые значения. В математическом анализе область определения и множество значений также необходимы для исследования функций.

Что запомнить

• Область определения — все допустимые значения аргумента.
• Множество значений — все значения функции.
• Для синуса и косинуса область определения — R, а множество значений — [−1; 1].
• Для тангенса область определения: x ≠ π/2 + πk.
• Для котангенса область определения: x ≠ πk.
• Множество значений тангенса и котангенса — R.
• При вертикальных преобразованиях область определения не меняется, но множество значений может измениться.