Область определения и множество значений тригонометрических функций

Определения и обозначения

Область определения функции — множество всех значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Для тригонометрических функций особенно важно проверять, не обращается ли знаменатель в ноль. Это определение помогает сразу находить запрещённые значения аргумента.

Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает при аргументах из области определения. Оно показывает, какие ответы вообще возможны. Например, если значения функции не выходят за определённые границы, это можно использовать при решении уравнений.

Синус и косинус числа x — координаты точки единичной окружности, соответствующей этому числу: sin x является ординатой, а cos x — абсциссой. Единичная окружность имеет радиус 1, поэтому её координаты связаны с ограниченными размерами окружности. Это геометрическое представление позволяет находить области значений функций.

Тангенс числа — отношение синуса к косинусу: tg x = sin x / cos x; котангенс — отношение косинуса к синусу: ctg x = cos x / sin x. В дроби нельзя делить на ноль, поэтому для тангенса требуется cos x ≠ 0, а для котангенса — sin x ≠ 0. Так формулы сразу подсказывают, какие аргументы нужно исключить.

Как это устроено

Для любого действительного x на единичной окружности можно отметить соответствующую точку. Её координаты существуют при любом положении на окружности, поэтому синус и косинус определены для всех действительных чисел. У них нет знаменателей или других условий, которые ограничивали бы допустимые аргументы.

У каждой точки единичной окружности абсцисса и ордината находятся между −1 и 1. Значит, ни cos x, ни sin x не могут выйти за эти границы. Оба края достигаются: на окружности есть точки с координатами 1 и −1, поэтому множество значений — именно отрезок [−1; 1], а не интервал без концов.

Тангенс получается делением sin x на cos x. Когда cos x = 0, такое деление невозможно; нули косинуса имеют вид x = π/2 + πk, где k — любое целое число. На каждом промежутке между соседними запрещёнными точками тангенс меняется от очень больших отрицательных значений к очень большим положительным, поэтому принимает любое действительное значение.

Котангенс — это отношение cos x к sin x, следовательно, делить на ноль нельзя при sin x = 0. Нули синуса имеют вид x = πk, где k ∈ Z, и именно эти числа исключаются из области определения. Между соседними исключёнными точками котангенс также проходит через все действительные значения, поэтому его множество значений равно ℝ.

Если аргумент тангенса или котангенса изменён, условие нужно составлять для всего выражения внутри функции. Например, для tg(2x) нельзя просто выписать запрет для x: сначала следует решить 2x = π/2 + πk. На промежутках также можно находить значения функции, опираясь на её запись через синус и косинус и проверяя, какие значения принимает каждое выражение.

Области определения и множества значений тригонометрических функций

Чтобы найти область определения, сначала посмотрите, есть ли в выражении тангенс, котангенс или дробь: у них могут быть запрещённые значения. Для множества значений используйте границы синуса и косинуса или учитывайте, что тангенс и котангенс принимают любые действительные значения. В сложном выражении условия из таблицы нужно записывать для всего аргумента функции.

Разбор задач

1. Функция y = 3 sin x

Условие. Укажите область определения и множество значений функции y = 3 sin x. Сначала определим, меняет ли множитель 3 допустимые значения аргумента, а затем рассмотрим его влияние на значения функции.

1. Синус определён при любом действительном x, поэтому умножение его значения на 3 не создаёт новых ограничений. Получаем D(y) = ℝ.
2. Для любого x выполняется −1 ≤ sin x ≤ 1. Умножая все части неравенства на положительное число 3, получаем −3 ≤ 3 sin x ≤ 3.
3. Значения −1 и 1 синус принимает, значит, функция достигает −3 и 3. Поэтому множество значений — [−3; 3].

Ответ: D(y) = ℝ; E(y) = [−3; 3].

2. Функция y = tg(2x − π/3)

Условие. Найдите область определения функции y = tg(2x − π/3). Аргумент тангенса — выражение 2x − π/3, поэтому запрещённое условие нужно записать именно для него, а не сразу для x.

1. Тангенс не определён, когда его аргумент равен π/2 + πk, где k ∈ Z. Составляем уравнение: 2x − π/3 = π/2 + πk.
2. Переносим π/3 вправо: 2x = π/2 + π/3 + πk = 5π/6 + πk.
3. Делим обе части на 2: x = 5π/12 + πk/2. Эти значения исключаем из области определения.

Ответ: D(y) = {x ∈ ℝ | x ≠ 5π/12 + πk/2, k ∈ Z}.

3. Функция y = 2/(cos x − 1)

Условие. Найдите область определения и множество значений функции. Здесь нужно проверить знаменатель и отдельно выяснить, какие значения может принимать дробь.

1. Знаменатель не должен быть равен нулю: cos x − 1 ≠ 0, то есть cos x ≠ 1. Косинус равен 1 при x = 2πk, поэтому эти точки исключаем.
2. Так как −1 ≤ cos x ≤ 1 и значение 1 исключено, знаменатель cos x − 1 принимает значения −2 ≤ cos x − 1 < 0. Он отрицателен, но может быть сколь угодно близок к нулю.
3. При делении 2 на числа от −2 до 0 получаются значения от −1 до отрицательных чисел с неограниченным убыванием. Значение −1 достигается при cos x = −1, а ноль дробь не принимает.

Ответ: D(y) = ℝ ̸ {2πk | k ∈ Z}; E(y) = (−∞; −1].

Типичные ошибки

Ошибка: считать область определения тангенса множеством всех действительных чисел. Так происходит, если забыть, что tg x — дробь и в ней косинус стоит в знаменателе. Проверьте себя: найдите нули cos x и убедитесь, что x = π/2 + πk исключены.

Ошибка: исключать из области определения котангенса числа π/2 + πk. Эти числа связаны с нулями косинуса, а котангенс имеет в знаменателе синус. Чтобы проверить ответ, запишите ctg x = cos x / sin x и исключите решения sin x = 0, то есть x = πk.

Ошибка: ограничивать множество значений тангенса или котангенса отрезком [−1; 1], как у синуса и косинуса. Можно перепутать функции из-за общего тригонометрического названия, но отношение координат не обязано оставаться внутри этих границ. Для проверки вспомните, что на допустимых промежутках тангенс и котангенс принимают любые действительные значения.

Ошибка: при преобразованном аргументе исключать стандартные точки напрямую для x. Например, в tg(2x) запрещён не просто набор значений x для tg x: нужно решить уравнение 2x = π/2 + πk. Проверка проста: подставьте найденные значения в аргумент функции — он должен стать нулём косинуса.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания об единичной окружности и координатах её точек: через них определяются синус и косинус. Также важно уметь решать простейшие тригонометрические уравнения и находить нули синуса и косинуса, поскольку именно они задают ограничения для тангенса и котангенса. Позже эти умения пригодятся при исследовании функций, построении графиков и решении уравнений и неравенств. Область определения часто становится первым шагом перед любым таким исследованием.

Что запомнить

• Область определения синуса и косинуса — все действительные числа.
• Множество значений синуса и косинуса — от −1 до 1 включительно.
• Тангенс не определён при x = π/2 + πk.
• Котангенс не определён при x = πk.
• Множество значений тангенса и котангенса — все действительные числа.
• В формулах исключённых значений k — любое целое число.