"Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни", Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Для каждой функции важно знать, при каких аргументах она существует и какие значения может принимать. Эти множества называют областью определения и множеством значений. Синус и косинус определены при всех действительных x и лежат в пределах от −1 до 1. Тангенс и котангенс принимают любые действительные значения, но не существуют в точках, где обращается в ноль их знаменатель.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Область определения функции — все значения аргумента, при которых функция имеет смысл; её обозначают D(f). Например, если выражение содержит деление, нужно исключить значения, при которых знаменатель равен нулю. Знание D(f) помогает понять, какие числа разрешено подставлять вместо x.
Множество значений функции — все значения, которые она принимает при аргументах из области определения; его обозначают E(f). Область отвечает на вопрос «какие x допустимы?», а множество значений — «какие y получаются?». Это различие пригодится, когда нужно описать функцию или построить её график.
Синус и косинус числа x определены при любом действительном x, а их значения принадлежат отрезку [−1; 1]. Это значит, что аргументом может быть любое число, но результат всегда лежит между −1 и 1 включительно. Ограничение касается значений функции, а не допустимых аргументов.
Тангенс tg x — отношение sin x к cos x, а котангенс ctg x — отношение cos x к sin x. Поэтому для тангенса знаменатель cos x не должен быть нулём, а для котангенса нулём не должен быть sin x. Именно эти условия определяют, какие аргументы нужно исключить.
На единичной окружности каждому углу x соответствует точка, а её координаты равны cos x и sin x. Точка существует для любого поворота, поэтому синус и косинус определены при всех действительных аргументах. При этом точка остаётся на окружности радиуса 1, так что каждая её координата не больше 1 и не меньше −1.
Тангенс определяется формулой tg x = sin x / cos x. Дробь не имеет смысла, если её знаменатель равен нулю, а cos x = 0 при x = π/2 + πk, где k — любое целое число. Следовательно, D(tg x) = R без точек π/2 + πk; исключения повторяются через π.
У котангенса знаменатель другой: ctg x = cos x / sin x. Синус равен нулю при x = πk, k ∈ Z, поэтому именно эти точки исключаются из области определения котангенса. Нули косинуса здесь сами по себе не мешают: при них знаменатель котангенса не равен нулю.
На каждом промежутке между соседними точками разрыва тангенс непрерывен и при приближении к границам неограниченно возрастает в одну сторону и убывает в другую. Поэтому внутри такого промежутка он принимает любое действительное значение. У котангенса происходит то же самое между соседними нулями синуса, откуда E(tg x) = E(ctg x) = R.
У синуса и косинуса область определения совпадает, потому что координаты точки на окружности существуют при любом угле. У тангенса и котангенса знаменатели разные, значит, нули, делающие дроби невозможными, тоже разные. Так получаются исключения π/2 + πk для тангенса и πk для котангенса.
| Свойство | y = sin x | y = cos x | y = tg x | y = ctg x |
|---|---|---|---|---|
| Область определения | R | R | R без точек π/2 + πk, k ∈ Z | R без точек πk, k ∈ Z |
| Множество значений | [−1; 1] | [−1; 1] | R | R |
| Значения аргумента, исключённые из области определения | Нет | Нет | x = π/2 + πk, k ∈ Z | x = πk, k ∈ Z |
Сначала найдите столбец нужной функции, затем отдельно прочитайте допустимые аргументы и возможные значения функции. Запись R без указанных точек означает, что из всех действительных чисел исключается целая последовательность. Параметр k ∈ Z учитывает все повторения, а не только ближайшие к нулю исключения.
Задача 1. Указать область определения и множество значений функции y = 3 sin x. Сначала проверим, ограничивает ли множитель допустимые аргументы. Затем определим, как он меняет значения синуса.
Синус существует при любом действительном x, поэтому умножение его значения на 3 не вводит ограничений. Значит, D(y) = R. В частности, здесь нет знаменателей или корней, которые могли бы сузить область определения.
Так как sin x принимает значения от −1 до 1, умножение на положительное число 3 растягивает этот отрезок в три раза. Получаем значения от −3 до 3 включительно. Следовательно, E(y) = [−3; 3].
Ответ: D(y) = R, E(y) = [−3; 3].
Задача 2. Найти область определения функции y = tg(2x − π/3). Тангенс запрещён там, где косинус его аргумента равен нулю. Поэтому сначала найдём исключения для внутреннего выражения, а затем решим уравнение относительно x.
Записываем условие cos(2x − π/3) ≠ 0. Косинус равен нулю, когда его аргумент имеет вид π/2 + πk, k ∈ Z. Следовательно, исключить нужно решения уравнения 2x − π/3 = π/2 + πk.
Переносим слагаемое: 2x = 5π/6 + πk. Делим обе части на 2 и получаем x = 5π/12 + πk/2. Все остальные действительные x допустимы, поэтому D(y) = R без точек 5π/12 + πk/2, k ∈ Z.
Ответ: D(y) = R без точек x = 5π/12 + πk/2, k ∈ Z.
Задача 3. Найти область определения и множество значений функции y = 2 ctg(x + π/4) − 1. Сначала учитываем, где не определён котангенс. Затем выясняем, как умножение на 2 и сдвиг на −1 влияют на множество его значений.
Котангенс не определён, когда синус внутреннего аргумента равен нулю. Значит, sin(x + π/4) ≠ 0, а исключаемые точки находятся из уравнения x + π/4 = πk, k ∈ Z. Отсюда x = −π/4 + πk, и других ограничений нет.
Котангенс принимает любое действительное значение. Умножение на 2 растягивает множество значений, но R остаётся R; вычитание 1 также лишь сдвигает его. Поэтому E(y) = R.
Ответ: D(y) = R без точек x = −π/4 + πk, k ∈ Z; E(y) = R.
Ошибка: исключать у тангенса одновременно нули синуса и косинуса. Её допускают, забывая, что запрещает дробь только нулевой знаменатель; у tg x знаменатель — cos x. Проверьте себя, записав формулу tg x = sin x / cos x и условие cos x ≠ 0.
Ошибка: указывать для котангенса точки π/2 + πk по аналогии с тангенсом. Причина — переносить правило одной функции на другую, не проверив формулу. Для самопроверки запишите ctg x = cos x / sin x: нулевым нельзя делать именно sin x.
Ошибка: перечислять лишь несколько исключённых значений, например π/2 и −π/2. Так происходит, если забыть, что k пробегает все целые числа и задаёт бесконечную последовательность точек. После решения уравнения всегда добавляйте условие k ∈ Z.
Ошибка: считать отрезок [−1; 1] областью определения синуса. Здесь смешивают допустимые аргументы с результатами функции, потому что и те и другие называют значениями в обычной речи. Проверка простая: D отвечает на вопрос о x, а E — о y; для синуса D = R, E = [−1; 1].
Для понимания темы понадобятся единичная окружность, радианная мера угла и значения синуса и косинуса основных углов. Также нужно знать, что тангенс и котангенс задаются отношениями синуса и косинуса, и уметь решать простейшие тригонометрические уравнения. Позже области определения и множества значений помогут исследовать графики и преобразования функций: например, выявлять запрещённые аргументы и изменения диапазона y.
Почему синус и косинус определены при любом действительном x?
Любому действительному углу x соответствует точка на единичной окружности. Её координаты — cos x и sin x, поэтому обе функции имеют значение для любого x.
Почему значения синуса и косинуса не могут быть больше 1 или меньше −1?
Синус и косинус — координаты точки единичной окружности. Координаты такой точки не могут выходить за пределы от −1 до 1.
Почему тангенс не определён при x = π/2 + πk?
Тангенс равен отношению sin x к cos x, поэтому его знаменатель не должен быть равен нулю. Косинус обращается в ноль при x = π/2 + πk, где k — целое число.
Чем отличаются исключённые значения аргумента у тангенса и котангенса?
У тангенса знаменатель — cos x, поэтому исключаются x = π/2 + πk. У котангенса знаменатель — sin x, и исключаются x = πk.
Почему тангенс и котангенс могут принимать любые действительные значения?
Между соседними точками разрыва каждая функция непрерывно проходит все значения от −∞ до +∞. Поэтому любое действительное число можно получить как значение тангенса или котангенса.
§ 38. Область определения и множество значений тригонометрических функций
