"Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни", Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Простейшие тригонометрические неравенства сравнивают синус, косинус, тангенс или котангенс угла с числом. Их решения — не отдельные значения x, а промежутки, которые повторяются с периодом функции. Для синуса и косинуса сначала проверяют, возможно ли заданное значение, затем находят граничные углы и выбирают подходящую дугу окружности. Для тангенса и котангенса учитывают монотонность и точки, где функция не определена. Эти приёмы помогают решать более сложные неравенства.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Простейшее тригонометрическое неравенство — неравенство с одной тригонометрической функцией от x, например sin x > a. В этом разборе рассматриваются неравенства с sin x, cos x, tg x и ctg x, где a — заданное число. Такие неравенства решают, находя не одно значение x, а все промежутки, на которых сравнение верно.
Арксинус числа a, обозначаемый arcsin a, — это угол из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен a. Арксинус существует только при −1 ≤ a ≤ 1, поскольку значения синуса не выходят за эти границы. Он помогает найти один из граничных углов при решении неравенств с синусом.
Арккосинус числа a, обозначаемый arccos a, — угол из отрезка [0; π], косинус которого равен a. Его аргумент также должен принадлежать [−1; 1], потому что косинус принимает только такие значения. Арккосинус задаёт граничный угол для неравенств с косинусом.
Арктангенс числа a, обозначаемый arctg a, — угол из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен a. Арктангенс определён при любом действительном a, так как на указанном интервале тангенс принимает все действительные значения. Это позволяет находить границы решений неравенств с тангенсом.
Синус и косинус могут принимать значения только от −1 до 1. Поэтому сначала сравнивают a с этим диапазоном: если уровень выше 1 или ниже −1, график функции либо не пересекает его, либо целиком лежит по одну его сторону. Именно это позволяет сразу понять, есть ли решения и не требуется ли проверять особый крайний случай a = ±1.
При −1 < a < 1 горизонтальный уровень y = a пересекает график синуса или косинуса, а точки пересечения задают границы подходящих промежутков. Для синуса используют α = arcsin a, для косинуса — β = arccos a. Затем по знаку неравенства выбирают дугу единичной окружности: синус соответствует вертикальной координате, косинус — горизонтальной; для противоположного знака берут оставшуюся часть окружности.
Удобно сначала описать подходящий участок в одном периоде, а затем учесть повторения. Синус и косинус возвращаются к тем же значениям через 2π, поэтому к границам каждого найденного промежутка прибавляют 2πk, где k — любое целое число. Без k в ответ попадёт только один участок, хотя неравенство выполняется и на его периодических копиях.
Тангенс возрастает на каждом промежутке непрерывности (−π/2 + πk; π/2 + πk), а котангенс убывает на промежутках (πk; π + πk). Поэтому для tg x > a граница равна arctg a, и берут значения правее неё в пределах соответствующего промежутка; для ctg x > a направление меняется. Период обеих функций равен π, а вертикальные асимптоты — точки, где функция не определена, — всегда исключают.
Знак неравенства отвечает за включение границ, а область определения — за допустимость самих точек. При строгих знаках > и < границу не включают, при ≥ и ≤ включают, если функция там определена. Поэтому точка разрыва не попадёт в ответ даже при нестрогом знаке: в ней значение функции отсутствует.
| Вид неравенства | Допустимые значения параметра | Граничные углы | Как записать множество решений |
|---|---|---|---|
| sin x > a или sin x ≥ a | −1 ≤ a ≤ 1 | α = arcsin a; второй угол π − α | Между границами в каждом периоде 2π; при строгом знаке границы открыты, при нестрогом закрыты, если равенство возможно. |
| sin x < a или sin x ≤ a | −1 ≤ a ≤ 1 | α = arcsin a; π − α | Дополнительные к верхней дуге промежутки в периоде 2π; включение границ задаёт знак. |
| cos x > a или cos x ≥ a | −1 ≤ a ≤ 1 | β = arccos a; −β и β | Между −β и β с повторением через 2π; скобки определяются знаком. |
| cos x < a или cos x ≤ a | −1 ≤ a ≤ 1 | β = arccos a; β и 2π − β | Между β и 2π − β с повторением через 2π; скобки определяются знаком. |
| tg x > a или tg x < a | a — любое действительное число | α = arctg a; разрывы π/2 + πk | На каждом промежутке (−π/2 + πk; π/2 + πk) берут часть справа от α для > и слева для <. |
| ctg x > a или ctg x < a | a — любое действительное число | β = π/2 − arctg a; разрывы πk | На (πk; π + πk) берут часть слева от β для > и справа для <. |
Для строк с синусом и косинусом формулы промежутков применяют при −1 < a < 1; значения a = ±1 проверяют отдельно по диапазону функции. Замена строгого знака на нестрогий добавляет граничные углы, если функция в них определена. В каждой строке не забывай повторить решение с указанным периодом.
Задача 1. Решить неравенство sin x > 1/2. Здесь правая часть лежит в диапазоне значений синуса, поэтому уравнение sin x = 1/2 действительно задаёт две границы в одном периоде. По окружности выбираем дугу, где вертикальная координата больше 1/2, а строгий знак означает, что сами границы не входят.
Ответ: π/6 + 2πk < x < 5π/6 + 2πk, k ∈ Z. Проверка точки внутри, например x = π/2, подтверждает выбор дуги: sin(π/2) = 1 > 1/2.
Задача 2. Решить неравенство cos x ≤ −√2/2. Значение −√2/2 допустимо, а граничный угол в [0; π] равен arccos(−√2/2) = 3π/4. Косинус — горизонтальная координата окружности, поэтому значения не больше −√2/2 находятся на левой дуге между симметричными граничными углами.
Ответ: 3π/4 + 2πk ≤ x ≤ 5π/4 + 2πk, k ∈ Z. На границах косинус равен −√2/2, а внутри выбранной дуги он меньше этого значения.
Задача 3. Решить неравенство tg(2x − π/6) > √3. Замена угла помогает сначала решить неравенство для обычного тангенса, а затем вернуться к x. Тангенс возрастает между точками разрыва, поэтому после нахождения его границы нужно ограничить аргумент одним таким промежутком.
Ответ: π/4 + πk/2 < x < π/3 + πk/2, k ∈ Z. Деление периода π по аргументу на коэффициент 2 даёт повторение решений по x через π/2.
Использовать arcsin a или arccos a для a вне [−1; 1] нельзя: такого угла не существует, потому что синус и косинус не принимают эти значения. Ошибка возникает, когда начинают подставлять числа в обратную функцию, не проверив её область допустимых значений. Сначала сравни a с диапазоном [−1; 1], а если число за его пределами — рассуди по всему диапазону функции.
Записать только один промежуток — значит потерять остальные решения. Это часто происходит, когда найденные углы воспринимают как окончательный ответ, а не как границы одного периодического участка. Проверь себя: прибавление периода к любому решению должно снова давать решение, поэтому у синуса и косинуса в записи появляется 2πk.
Неверно выбранная дуга может дать правильные граничные углы, но неправильный ответ. Одних границ недостаточно: нужно понять, где функция больше или меньше a, и сопоставить это с координатой на окружности. Подставь в неравенство тестовый угол из выбранного промежутка — если условие не выполняется, выбрана другая дуга.
Включать точки разрыва tg или ctg нельзя, даже если стоит знак ≥ или ≤, потому что в таких точках функция не определена. Кроме того, перепутанный строгий знак может привести к включению граничного угла, где достигается равенство. Сверь скобки со знаком и отдельно проверь область определения: у тангенса исключены π/2 + πk, у котангенса — πk.
Для решения нужны значения sin, cos, tg и ctg на основных углах, их периоды и расположение точек на единичной окружности. Понимание арксинуса, арккосинуса и арктангенса помогает быстро находить граничные углы, а умение решать линейные неравенства — преобразовывать ограничения для аргумента к неравенствам относительно x. Эти приёмы становятся основой для решения более сложных тригонометрических неравенств и исследования функций.
Почему при решении неравенства с синусом или косинусом параметр должен лежать от −1 до 1?
Значения синуса и косинуса всегда находятся в пределах от −1 до 1. Если a выходит за эти границы, уравнение sin x = a или cos x = a не имеет решений, а расположение графика сразу показывает, выполняется ли исходное неравенство для всех x или ни для одного.
Как понять, какую дугу единичной окружности нужно выбрать?
Отметь граничные углы и проверь, на какой части окружности функция принимает значения, нужные по знаку неравенства. Для синуса сравнивают вертикальную координату точек, для косинуса — горизонтальную.
Почему в ответе появляется целое число k?
Периодические функции повторяют значения через одинаковые промежутки: 2π у синуса и косинуса, π у тангенса и котангенса. Целое k перечисляет все повторения найденного промежутка или угла.
Почему у тангенса период π, а не 2π?
Поскольку tg x = sin x / cos x, при прибавлении π знаки и синуса, и косинуса меняются одновременно, поэтому их отношение не меняется. Значит, значения тангенса повторяются через π.
Когда граничные точки включают в ответ?
При строгих знаках > и < граничные точки не включают, потому что в них достигается равенство. При ≥ и ≤ их включают, если функция в этих точках определена; точки разрыва тангенса и котангенса исключают всегда.
§ 37*. Примеры решения простейших тригонометрических неравенств
