§ 36. Решение тригонометрических уравнений

Определения и обозначения

Тригонометрическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная входит под знак тригонометрической функции. Например, в уравнении sin x = ½ неизвестное x является аргументом синуса. Такие уравнения описывают ситуации, в которых нужно найти угол с заданным значением функции.

Корень тригонометрического уравнения — значение неизвестной, при подстановке которого уравнение становится верным. Например, x = π/6 — корень уравнения sin x = ½, потому что sin(π/6) = ½. Проверка подстановкой помогает убедиться, что найденное число подходит.

Общее решение — запись всех корней уравнения с помощью целого параметра, обычно n ∈ ℤ. Параметр позволяет перечислить бесконечно много корней, возникающих из-за периодичности тригонометрических функций. Такая запись нужна, чтобы не ограничиваться одним периодом.

Арксинус числа a — число из промежутка [−π/2; π/2], синус которого равен a; оно обозначается arcsin a. Аналогично arccos a — число из [0; π], косинус которого равен a; arctg a ∈ (−π/2; π/2) имеет тангенс a, а arcctg a ∈ (0; π) имеет котангенс a. Обратные функции дают основное значение угла, а остальные корни находят с помощью периодичности.

Как это устроено

Чтобы решить sin x = a, cos x = a, tg x = a или ctg x = a, сначала находят основной угол с помощью соответствующей обратной функции. Но это ещё не все корни: тригонометрическая функция повторяет значения через свой период. Поэтому к основным значениям добавляют целое число периодов, а для синуса учитывают обе точки окружности с нужной координатой.

В уравнении sin x = a должно выполняться |a| ≤ 1, поскольку синус — вертикальная координата точки единичной окружности и не выходит за эти границы. Пусть α = arcsin a. На окружности такой же синус имеют углы α и π − α: их точки имеют одинаковую вертикальную координату. Поэтому два семейства корней имеют вид x = arcsin a + 2πn и x = π − arcsin a + 2πn. Через 2π положение точки повторяется, а при a = ±1 два семейства совпадают.

Для cos x = a также требуется |a| ≤ 1: косинус — горизонтальная координата точки окружности. Если α = arccos a, то углы α и −α имеют одинаковый косинус, поскольку их точки зеркальны относительно горизонтальной оси. Добавляя полные обороты, получаем x = ± arccos a + 2πn. Знак ± сразу объединяет два семейства корней, в том числе те, которые лежат в одном периоде.

У тангенса и котангенса каждое допустимое значение встречается по одному разу на периоде длины π. Это следует из их повторения через π: tg(x + π) = tg x и ctg(x + π) = ctg x, где котангенс определён. Поэтому tg x = a имеет решение x = arctg a + πn, а ctg x = a — x = arcctg a + πn. В формулах нет ограничения на a: обе функции могут принимать любые действительные значения.

Для синуса и косинуса предел значений сразу проверяет, возможны ли корни. Если |a| > 1, равенства sin x = a и cos x = a невозможны, поэтому искать углы не нужно. При |a| ≤ 1 решения существуют и находятся по формулам; для тангенса и котангенса любое действительное a допустимо. Эта проверка предотвращает применение арксинуса или арккосинуса к числу вне их области определения.

Решения простейших тригонометрических уравнений

В таблице собраны условия существования корней и формулы общего решения. Параметр n в каждой строке принимает все целые значения. Для уравнений с тангенсом и котангенсом нужно помнить об их области определения, но при равенстве функции числу a полученные корни этой функции допустимы.

Чтобы решить уравнение, выберите строку с нужной функцией и проверьте условие для правой части. Если дан промежуток, сначала запишите общее решение, а затем оставьте только корни внутри него.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение sin x = ½.

1. Правая часть удовлетворяет условию |½| ≤ 1, значит, корни существуют. Основное значение: arcsin(½) = π/6, так как sin(π/6) = ½.

2. Для синуса записываем оба семейства: x = arcsin(½) + 2πn и x = π − arcsin(½) + 2πn. Подстановка найденного угла даёт x = π/6 + 2πn и x = 5π/6 + 2πn.

Ответ: x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn, n ∈ ℤ.

Задача 2. Решить уравнение cos x = −√2/2 на промежутке [0; 2π).

1. Число −√2/2 лежит между −1 и 1, поэтому решения есть. Основное значение arccos(−√2/2) = 3π/4: косинус этого угла равен −√2/2.

2. Общее решение: x = ±3π/4 + 2πn. Теперь оставляем только значения из [0; 2π): при n = 0 получаем 3π/4 и −3π/4, причём второй корень не подходит; при n = 1 из него получается 5π/4, а 3π/4 + 2π уже выходит за промежуток.

Ответ: x = 3π/4; 5π/4.

Задача 3. Решить уравнение 2tg(3x − π/6) = 2.

1. Сначала делим обе части на 2 и получаем tg(3x − π/6) = 1. Значение арктангенса единицы равно π/4, потому что tg(π/4) = 1.

2. Тангенс имеет период π, поэтому для всего аргумента записываем 3x − π/6 = π/4 + πn, где n ∈ ℤ. Переносим −π/6 вправо: 3x = 5π/12 + πn.

3. Делим на 3 каждое слагаемое правой части, включая πn. Получаем x = 5π/36 + πn/3.

Ответ: x = 5π/36 + πn/3, n ∈ ℤ.

Типичные ошибки

Для тангенса иногда записывают шаг 2π вместо π, перенося период синуса и косинуса на другую функцию. Так теряются корни: например, к найденному значению нужно прибавлять πn, поскольку tg(x + π) = tg x. Проверьте себя, подставив в функцию два соседних значения из общего решения.

В уравнении sin x = a нередко оставляют только x = arcsin a + 2πn и забывают вторую точку окружности. Ошибка возникает, если воспринимать arcsin a как единственный угол, а не как основное значение. Проверка: рассмотрите оба угла с одинаковой вертикальной координатой, то есть добавьте семейство π − arcsin a + 2πn.

Ещё одна ошибка — применять arcsin или arccos, не проверив |a| ≤ 1. Если модуль правой части больше единицы, такого значения у синуса или косинуса не бывает, поэтому корней нет. Перед вычислениями сравните a с границами от −1 до 1.

При аргументе kx + b можно найти все значения аргумента правильно, но неверно выразить x. Например, после равенства 3x = c + πn нужно делить на 3 и c, и πn; иначе шаг между корнями окажется неправильным. Для проверки подставьте в исходное уравнение общий вид ответа: он должен сохранять периодичность и давать верное равенство.

Связь с другими темами

Для решения нужны единичная окружность, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также их периоды. На окружности видно, почему возникают разные углы с одинаковым значением функции, а знание специальных углов помогает находить точные ответы. Без понимания периодичности нельзя записать все корни.

Также понадобятся обратные тригонометрические функции и умение работать с целым параметром n. Эти навыки используются дальше при решении более сложных тригонометрических уравнений, неравенств и систем. В них формулы простейших уравнений становятся одним из шагов решения.

Что запомнить

• У синуса и косинуса период равен 2π, у тангенса и котангенса — π.
• Уравнения sin x = a и cos x = a имеют решения только при |a| ≤ 1.
• Для sin x = a нужно учитывать два семейства корней.
• Для cos x = a общее решение записывают через ± arccos a.
• Для tg x = a: x = arctg a + πn, где n ∈ ℤ.
• Для ctg x = a: x = arcctg a + πn, где n ∈ ℤ.