Решение тригонометрических уравнений

Определения и обозначения

Тригонометрическое уравнение — это уравнение, в котором неизвестное входит в аргумент тригонометрической функции, например sin x = ½. Такие уравнения описывают, при каких углах функция принимает заданное значение. Поскольку значения функции повторяются, корни обычно образуют бесконечные последовательности.

Общее решение — запись всех корней уравнения с помощью целого параметра k. Например, запись x = α + 2πk включает не один угол, а все углы, отличающиеся от α на целое число периодов. Одного найденного значения недостаточно, потому что оно обычно не учитывает повторяющиеся корни.

Период тригонометрической функции — число, при прибавлении которого к аргументу значение функции повторяется. У синуса и косинуса период 2π, у тангенса — π. Период задаёт шаг, с которым повторяются корни, и потому появляется в формуле общего решения.

Аркфункция возвращает угол по известному значению синуса, косинуса или тангенса: например, arcsin a — угол, синус которого равен a. Аркфункции выбирают одно главное значение из нескольких возможных углов. Это значение служит отправной точкой, а остальные корни добавляются с помощью симметрии и периода.

Как это устроено

Для уравнений sin x = a и cos x = a сначала проверяют, может ли функция вообще принять значение a. Синус и косинус на единичной окружности являются координатами точки, а каждая координата находится между −1 и 1. Поэтому при |a| > 1 действительных корней нет; если |a| ≤ 1, нужные углы можно определить по окружности.

У синуса одному значению обычно соответствуют две точки окружности за полный оборот. Если один угол равен arcsin a, второй связан с ним симметрией и равен π − arcsin a; после этого оба набора повторяются через 2π. Поэтому полная запись имеет вид x = arcsin a + 2πk или x = π − arcsin a + 2πk, где k ∈ ℤ. На границах a = 1 и a = −1 две серии совпадают, но формула всё равно задаёт корни.

У косинуса одинаковое значение имеют углы, расположенные симметрично относительно оси абсцисс. Если главный угол равен arccos a, то соответствующие углы за оборот — arccos a и −arccos a; повторение через период даёт x = ± arccos a + 2πk. Здесь также требуется |a| ≤ 1. Знак ± объединяет две серии корней, а не означает, что можно выбрать только один знак.

Уравнение tg x = a отличается тем, что за каждый период тангенса значение a достигается один раз. Арктангенс даёт один главный угол, tg(arctg a) = a, а все остальные решения получаются прибавлением периода π. Поэтому общее решение записывают как x = arctg a + πk, k ∈ ℤ; ограничение на значение a здесь не требуется.

Сложное уравнение стараются преобразовать к уже известным простейшим. Общий множитель позволяет применить правило произведения, тождества помогают объединить выражения, а замена переменной превращает, например, выражение с sin x в квадратное уравнение относительно t = sin x. После решения нужно проверить, попадают ли найденные значения t в область значений синуса или косинуса, затем решить полученные уравнения и проверить корни в исходной записи.

Основные тригонометрические уравнения и их общие решения

Сначала найдите строку с нужной функцией и проверьте условие существования корней. Затем подставьте значение a в формулу и не забудьте указать, что k — любое целое число. Если задан промежуток, из полученного общего решения отдельно выберите подходящие углы.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение sin x = ½.

Нужно найти все углы, а не только угол из главного значения arcsin. Значение ½ допустимо, так как его модуль не превосходит 1; на единичной окружности синус равен ½ при углах π/6 и 5π/6 за один оборот. Далее учтём период синуса.

1. Находим главное значение: arcsin(½) = π/6.
2. Записываем первую серию: x = π/6 + 2πk, k ∈ ℤ.
3. Вторая серия равна x = π − π/6 + 2πk = 5π/6 + 2πk, k ∈ ℤ.

Ответ: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ ℤ.

Задача 2. Решить уравнение 2cos x − 1 = 0 на промежутке [0; 2π].

Сначала выделим косинус и решим уравнение без ограничения на x. Затем проверим, какие значения из общего решения попадают в заданный отрезок. Это важно: общее решение охватывает всю числовую прямую, а в ответе нужны только углы от 0 до 2π включительно.

1. Переносим 1 и делим обе части на 2: cos x = ½.
2. Главное значение arccos(½) равно π/3, поэтому x = ±π/3 + 2πk, k ∈ ℤ.
3. При k = 0 получаем π/3 и −π/3; из них на отрезке лежит π/3. При k = 1 получаем 5π/3 и 7π/3, из них подходит 5π/3.

Ответ на [0; 2π]: x = π/3; 5π/3.

Задача 3. Решить уравнение 2sin²x − 3sin x + 1 = 0.

В уравнении повторяется sin x, поэтому удобно временно обозначить его буквой t. Получится квадратное уравнение, которое проще решить, чем исходное. После этого каждый допустимый корень t нужно преобразовать обратно в уравнение для x.

1. Полагаем t = sin x. Получаем 2t² − 3t + 1 = 0, то есть (2t − 1)(t − 1) = 0.
2. Из множителей находим t = ½ или t = 1. Оба значения допустимы, поскольку принадлежат промежутку [−1; 1], где может находиться синус.
3. При t = ½ решаем sin x = ½: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk. При t = 1 получаем sin x = 1, откуда x = π/2 + 2πk.

Ответ: x = π/6 + 2πk, x = 5π/6 + 2πk или x = π/2 + 2πk, k ∈ ℤ.

Типичные ошибки

Для синуса или косинуса иногда записывают только одну серию корней. Так происходит, если находят лишь главное значение аркфункции и забывают о второй точке окружности; проверьте, сколько раз функция принимает заданное значение за полный оборот. Для тангенса, наоборот, могут ошибочно использовать период 2π: тогда теряется часть корней, поэтому сверяйте шаг с периодом функции и используйте π.

Ещё одна ошибка — не проверять условие |a| ≤ 1 в уравнениях sin x = a и cos x = a. При |a| > 1 точек с такой координатой на единичной окружности нет, значит, действительных корней быть не может; проверка диапазона сразу обнаружит невозможное решение. После замены переменной также нельзя автоматически считать каждый корень t допустимым: значение должно лежать в области значений синуса или косинуса. Проверьте это, вернитесь к исходной переменной и подставьте результат в исходное уравнение.

Связь с другими темами

Для решения простейших тригонометрических уравнений нужны значения функций на единичной окружности, знание периодов и основные тригонометрические тождества. Эти навыки станут основой при решении тригонометрических неравенств и систем: там тоже приходится учитывать периоды и отбирать подходящие значения. Замена переменной и разложение на множители связывают тему с квадратными уравнениями и алгебраическими преобразованиями.

Что запомнить

• В общем решении k — любое целое число.
• Период синуса и косинуса равен 2π.
• Период тангенса равен π.
• Уравнения sin x = a и cos x = a имеют действительные решения только при |a| ≤ 1.
• При решении уравнений с синусом и косинусом учитывают все углы за период.
• Для уравнений на промежутке из общего решения отдельно отбирают подходящие корни.