Уравнение tg х = а

Определения и обозначения

Арктангенс числа a обозначают arctg a; это единственное число из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен a. Например, arctg 1 = π/4, потому что tg(π/4) = 1. Арктангенс помогает найти угол по известному значению его тангенса. Выбранный интервал задаёт для этого угла единственное значение.

Уравнение tg x = a — это уравнение, в котором требуется найти все значения x, тангенс которых равен заданному действительному числу a. Буква x обозначает неизвестный угол, а a — число, с которым сравнивают его тангенс. Решить уравнение — значит указать все подходящие x, а не только один угол. Для этого нужно учитывать повторение значений тангенса.

Общее решение уравнения tg x = a записывают так: x = arctg a + πk, где k — любое целое число. Такая запись объединяет все углы с нужным тангенсом, включая отрицательные и большие по модулю значения. Параметр k принимает значения 0, ±1, ±2 и так далее. Если задан отрезок, из этого семейства затем выбирают подходящие корни.

Период тангенса — число π, после прибавления которого значение tg x повторяется: tg(x + π) = tg x. Поэтому к одному подходящему углу можно прибавлять любое целое число π и получать другие углы с тем же тангенсом. Период объясняет, почему в общем решении стоит πk. Он также помогает проверить, не пропущены ли корни.

Как это устроено

Для любого действительного a уравнение разрешимо, потому что на промежутке (−π/2; π/2) тангенс может принимать любое действительное значение. При движении по этому промежутку его значения уходят от очень больших отрицательных к очень большим положительным, не пропуская промежуточных чисел. Значит, для выбранного a найдётся угол, у которого тангенс равен a. Этот угол и обозначают arctg a.

На промежутке (−π/2; π/2) тангенс строго возрастает. Это значит, что при увеличении угла значение тангенса тоже увеличивается, поэтому одно и то же a не может соответствовать двум разным углам внутри промежутка. Следовательно, там находится ровно один корень. Именно поэтому арктангенс определяют как единственное число в указанных границах.

За пределами этого промежутка значения тангенса повторяются через π: tg(x + π) = tg x. Если к найденному углу arctg a прибавить π, 2π или любое другое целое кратное π, тангенс останется равен a; то же верно при вычитании этих кратных. Так получается полное семейство корней x = arctg a + πk, k ∈ Z. Других корней нет, потому что любое значение тангенса можно перенести с помощью периода в основной промежуток, где корень единственный.

Для некоторых чисел арктангенс можно найти по известным углам. Например, tg(π/4) = 1, поэтому arctg 1 = π/4; также tg 0 = 0, значит, arctg 0 = 0. Для a = √3 подходит угол π/3, а для a = −1 — угол −π/4. Если точного знакомого значения нет, арктангенс оставляют в записи или находят приближённо калькулятором.

У тангенса есть значения, при которых он не определён: x = π/2 + πk. Это углы, для которых cos x = 0, а тангенс вычисляется как отношение sin x к cos x. Общая формула решения их не включает, поскольку arctg a всегда лежит строго между −π/2 и π/2, а к нему прибавляются целые кратные π. При преобразованиях уравнений всё же полезно помнить об области определения.

Решение уравнения tg x = a

В таблице собраны общее решение и несколько случаев, в которых арктангенс легко определить по известному углу. В каждом ответе k — целое число, поэтому запись охватывает все периодические корни. Для конкретного отрезка нужно дополнительно проверить, какие значения параметра k подходят. Строка о периоде объясняет, почему шаг между корнями равен π.

Разбор задач

Решите уравнение tg x = 0.

Нужно найти углы, у которых тангенс равен нулю. Сначала определяем основной угол: arctg 0 = 0, поскольку tg 0 = 0. Затем учитываем период, чтобы получить не один корень, а все решения. В общем ответе параметр k может быть любым целым числом.

1. Записываем формулу: x = arctg a + πk, k ∈ Z.
2. Подставляем a = 0 и arctg 0 = 0: x = 0 + πk.
3. Упрощаем запись: x = πk, k ∈ Z.

Ответ: x = πk, k ∈ Z.

Решите уравнение tg x = √3.

Здесь правая часть равна √3, поэтому ищем знакомый угол с таким тангенсом. Поскольку tg(π/3) = √3 и π/3 лежит в интервале (−π/2; π/2), получаем arctg √3 = π/3. Добавляем все целые кратные периода π, не ограничиваясь основным углом. Так записываются и положительные, и отрицательные корни.

1. Используем табличное значение: arctg √3 = π/3.
2. Подставляем его в общее решение: x = π/3 + πk.
3. Указываем, что k — любое целое число: k ∈ Z.

Ответ: x = π/3 + πk, k ∈ Z.

Решите уравнение tg(2x − π/6) = −1 и найдите корни на отрезке [0; π].

Сначала считаем аргументом тангенса выражение 2x − π/6 и приравниваем его ко всем углам, тангенс которых равен −1. Для этого используем arctg(−1) = −π/4 и период π. Затем выражаем x и отбираем значения на заданном отрезке. При отборе важно проверить границы отрезка, а не просто взять ближайший корень.

1. Записываем семейство для аргумента: 2x − π/6 = −π/4 + πk, k ∈ Z.
2. Прибавляем π/6: 2x = −π/4 + π/6 + πk = −π/12 + πk.
3. Делим на 2: x = −π/24 + πk/2.
4. Требуем 0 ≤ −π/24 + πk/2 ≤ π. Умножаем неравенство на 24/π: 0 ≤ −1 + 12k ≤ 24.
5. Получаем 1/12 ≤ k ≤ 25/12, поэтому подходят целые k = 1 и k = 2. Корни равны 11π/24 и 23π/24.

Ответ: x = −π/24 + πk/2, k ∈ Z; на отрезке [0; π] — 11π/24 и 23π/24.

Типичные ошибки

Запись x = arctg a принимают за единственное решение и забывают о периодических корнях. Так происходит, если найти основной угол и остановиться, не применив период тангенса. Проверка простая: к найденному углу прибавьте π и убедитесь, что тангенс не изменился. Поэтому в общем ответе обязательно должно быть πk, k ∈ Z.

Иногда прибавляют 2πk, как при решении уравнений с синусом или косинусом. Но у тангенса период π, и прибавление только 2π пропускает корни, отличающиеся от основного угла на нечётное число π. Чтобы проверить шаг, используйте равенство tg(x + π) = tg x. В ответе общее семейство должно включать сдвиги и на π.

Можно ошибочно решить, что для некоторых a корней нет, например потому, что число не встречалось в таблице. Таблица содержит лишь знакомые значения, а не все возможные числа тангенса. На интервале (−π/2; π/2) тангенс принимает любое действительное значение, поэтому решение существует при каждом a ∈ R. Если угол не удаётся выразить точно, оставьте его как arctg a.

Ещё одна ошибка — считать, что arctg a может лежать в любом промежутке длины π. Тогда вместо основного угла выбирают другое значение и путают его с определением арктангенса. Проверяйте, что arctg a строго находится между −π/2 и π/2 и имеет тангенс a. Остальные углы с тем же тангенсом появляются уже после прибавления πk.

Связь с другими темами

Для решения нужно знать, что такое тангенс и арктангенс, и уметь пользоваться периодичностью тригонометрических функций. Также важно понимать запись k ∈ Z: она означает, что параметр k принимает все целые значения. Знание табличных углов помогает быстро находить точные значения арктангенса. Если дан отрезок, понадобится решать двойное неравенство и отбирать целые значения параметра.

Формула для tg x = a используется в уравнениях, где аргумент тангенса сложнее, например tg(ax + b) = c. Сначала приравнивают выражение ax + b к arctg c + πk, а затем решают полученное уравнение относительно x. После преобразований при необходимости проверяют, какие корни подходят условию задачи. Такой приём переносит знакомую формулу на линейный аргумент.

Что запомнить

• Уравнение tg x = a имеет решение при любом a ∈ R.
• На интервале (−π/2; π/2) решение единственно и равно arctg a.
• Общее решение: x = arctg a + πk, k ∈ Z.
• Период тангенса равен π.
• Арктангенс принимает значения из интервала (−π/2; π/2).
• Значения x = π/2 + πk не входят в область определения тангенса.