§ 35. Уравнение tg х = а

Определения и обозначения

Уравнение tg x = a — это уравнение, в котором нужно найти все значения x, при которых тангенс равен заданному числу a. Буква a обозначает постоянное число, а x — неизвестный угол. Решить уравнение значит перечислить не один подходящий угол, а все возможные значения x. Такой вид часто служит основой для более сложных тригонометрических уравнений.

Арктангенс числа a, обозначаемый arctg a, — единственный угол из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен a. Например, arctg 1 = π/4, потому что tg(π/4) = 1. Арктангенс помогает выбрать один определённый, основной корень уравнения. Интервал выбран так, чтобы на нём тангенс принимал каждое действительное значение ровно один раз.

Период тангенса — наименьшее положительное число, при прибавлении которого значение функции не меняется; для тангенса это π. Значит, tg(x + π) = tg x, и углы, различающиеся на π, дают одинаковый результат. Период объясняет, почему у уравнения с тангенсом обычно бесконечно много корней. Его нужно отличать от периода синуса и косинуса, равного 2π.

Общий вид решения — запись всех корней в форме x = arctg a + πn, где n — любое целое число, то есть n ∈ Z. Здесь arctg a задаёт основной корень, а слагаемое πn перечисляет остальные. Если оставить только arctg a, будет найден лишь один угол. Общая формула удобна и для проверки полноты ответа, и для отбора корней на промежутке.

Как это устроено

Для любого действительного a можно найти угол из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен a. На этом промежутке тангенс непрерывен и возрастает: при движении от −π/2 к π/2 его значения проходят от −∞ до +∞. Поэтому каждое действительное число встречается ровно один раз, а соответствующий угол обозначают arctg a. Это и есть единственный основной корень уравнения.

Период тангенса следует из определения tg x = sin x / cos x. При прибавлении π выполняются равенства sin(x + π) = −sin x и cos(x + π) = −cos x. В отношении два минуса сокращаются, поэтому tg(x + π) = tg x, если тангенс определён. Прибавление π сохраняет значение функции, а меньшего положительного периода у тангенса нет.

Из основного корня можно получить другие решения: к нему прибавляют или от него отнимают π, затем 2π, 3π и так далее. Все эти углы объединяются записью x = arctg a + πn, где n принимает любые целые значения, в том числе отрицательные и ноль. Например, при n = 0 получаем основной корень, при n = 1 — следующий, а при n = −1 — предыдущий. Каждый из них имеет тот же тангенс, что и arctg a.

Формула включает все корни, потому что на каждом промежутке длины π между соседними точками, где тангенс не определён, функция принимает каждое действительное значение ровно один раз. Значит, любой корень можно сдвинуть на целое число π в интервал (−π/2; π/2), где он совпадёт с arctg a. Лишних решений формула тоже не добавляет: периодичность гарантирует, что tg(arctg a + πn) = a. Так доказаны и полнота, и правильность общего ответа.

Проверить найденное значение можно подстановкой: вычислить тангенс и убедиться, что получено a. При этом нужно помнить, что tg x = sin x / cos x, поэтому он не определён, когда cos x = 0. Такие точки имеют вид x = π/2 + πn и в ответ попасть не могут. В общей формуле корней они не возникают, но при преобразовании более сложного уравнения область определения всё равно следует учитывать.

Уравнение tg x = a и его решение

Сначала определи значение arctg a, чтобы получить основной корень, затем запиши общий ответ с целым n. Если задан промежуток, оставь только те значения n, при которых x входит в него. Отдельно проверь, что преобразования не привели к точкам, где косинус равен нулю.

Разбор задач

1. Решить уравнение tg x = 1.

Число 1 — значение тангенса угла π/4, а этот угол лежит в основном интервале арктангенса. Поэтому сначала находим основной корень, а затем учитываем периодичность функции. Все решения получаются сдвигом на целое число π. Запишем это по шагам.

1. Находим arctg 1 = π/4.
2. Прибавляем целое число периодов: x = π/4 + πn, n ∈ Z.
3. Проверяем: tg(π/4 + πn) = tg(π/4) = 1.

Ответ: x = π/4 + πn, n ∈ Z.

2. Решить уравнение tg x = −√3 на промежутке [−π; π].

Сначала решим уравнение без ограничения на x, а затем отберём корни на заданном промежутке. Угол −π/3 подходит, потому что tg(−π/3) = −√3 и он лежит в интервале определения основного значения arctg. После этого проверим целые n в общей формуле, не забывая включённые границы промежутка.

1. Находим arctg(−√3) = −π/3.
2. Записываем все решения: x = −π/3 + πn, n ∈ Z.
3. Подбираем n так, чтобы −π ≤ −π/3 + πn ≤ π. Получаем n = 0 и n = 1.
4. Вычисляем корни: при n = 0 это −π/3, при n = 1 это 2π/3. Оба принадлежат заданному промежутку.

Ответ: x = −π/3; 2π/3.

3. Решить уравнение tg(2x − π/4) = 1.

Тангенс здесь зависит не непосредственно от x, а от выражения 2x − π/4. Сначала применяем формулу общего решения к этому аргументу: он должен равняться π/4 + πn. Затем решаем линейное уравнение и сохраняем целое n, поскольку каждый его выбор даёт очередной корень. Проверка показывает, что найденные значения не делают косинус аргумента равным нулю.

1. Записываем уравнение для аргумента тангенса: 2x − π/4 = π/4 + πn, n ∈ Z.
2. Переносим слагаемое −π/4: 2x = π/2 + πn.
3. Делим обе части на 2: x = π/4 + πn/2, n ∈ Z.
4. Подстановка даёт аргумент π/4 + πn, тангенс которого равен 1.

Ответ: x = π/4 + πn/2, n ∈ Z.

Типичные ошибки

Запись x = arctg a без πn даёт только основной корень, а не все решения. Так ошибаются, когда находят угол по таблице и забывают о периодичности тангенса. Проверь себя: прибавь к найденному углу π — тангенс не изменится, значит, появился ещё один корень.

Если использовать период 2π, будут пропущены решения, которые отличаются на π, но не на 2π. Ошибка возникает из-за привычки считать периодом тригонометрических функций 2π. Проверка простая: вычисли tg(x + π) через синус и косинус и убедись, что значение совпадает с tg x.

Арктангенс arctg a иногда путают с обратной величиной 1/tg a. Но arctg a — это угол, а 1/tg a — число, обратное значению тангенса; эти выражения означают разное. Чтобы проверить смысл записи, вспомни: tg(arctg a) = a, тогда как tg(1/tg a) не обязан равняться a.

Нельзя подставлять значения x, при которых cos x = 0: в таких точках тангенс не определён. Их вид — x = π/2 + πn, и забывают о них чаще при преобразовании уравнений или проверке корней. Перед ответом подставь кандидатов в исходное уравнение и убедись, что знаменатель sin x / cos x не обращается в ноль.

Связь с другими темами

Для решения нужны радианная мера угла, единичная окружность и значения тангенса основных углов: с ними можно находить arctg a в простых случаях. Также пригодятся навыки решения простейших тригонометрических уравнений и понимание периодичности функций. Освоенная формула используется в более сложных тригонометрических уравнениях и неравенствах. Она помогает и в задачах с обратными тригонометрическими функциями, где арктангенс задаёт основной угол.

Что запомнить

• Арктангенс числа a — единственный угол из (−π/2; π/2), тангенс которого равен a.
• Для любого действительного a уравнение tg x = a имеет решения.
• Общая формула решения: x = arctg a + πn, n ∈ Z.
• Период тангенса равен π.
• Тангенс не определён при x = π/2 + πn.
• При a = 0 решения имеют вид x = πn.