§ 34. Уравнение sin х = а

Определения и обозначения

Уравнение sin x = a — это уравнение, в котором требуется найти все значения x, при которых синус равен заданному числу a. Здесь x обозначает угол в радианах, а a — фиксированное число. Решая уравнение, мы ищем не одно заранее известное значение, а все подходящие углы. Это понятие нужно, чтобы описывать положения графика синуса на заданном уровне.

Арксинус числа a, обозначаемый arcsin a, — угол из промежутка [−π/2; π/2], синус которого равен a. Он определён только при −1 ≤ a ≤ 1, поскольку других значений синуса не бывает. Например, arcsin(1/2) = π/6. Арксинус помогает получить одно удобное исходное значение угла для записи решений.

Общее решение — запись всех значений x, удовлетворяющих уравнению, обычно с целым параметром k или n. Например, выражение 2πk означает любое целое число периодов, прибавленное к углу. Такой способ нужен потому, что у синуса бесконечно много повторяющихся значений. Параметр принимает значения из множества целых чисел ℤ.

Частное решение — отдельное значение x, полученное из общего решения при конкретном целом значении параметра. Если в формуле общего решения выбрать k = 0, получится один корень; при k = 1 — другой. Частное решение удобно, когда требуется перечислить корни на ограниченном промежутке. Само по себе оно не заменяет общего решения, если нужно найти все корни.

Как это устроено

Синус угла — это ордината точки единичной окружности, поэтому его значение не может быть больше 1 или меньше −1. Следовательно, если |a| > 1, на окружности не найдётся точки с нужной ординатой и уравнение не имеет действительных решений. Это рассуждение позволяет проверить возможность решения ещё до вычислений. При |a| ≤ 1 подходящие точки на окружности существуют.

На графике y = sin x решение уравнения sin x = a — это абсцисса точки, где график пересекает горизонтальную прямую y = a. Абсцисса — координата точки по горизонтальной оси, то есть искомое значение x. Такой взгляд объясняет, почему уравнение может иметь несколько корней: одна горизонтальная прямая пересекает повторяющуюся волну синуса много раз. На рисунке показаны пересечения для уровня 1/2 в двух периодах.

Пусть −1 < a < 1 и α = arcsin a. На промежутке одного периода синус обычно принимает значение a дважды: в углах α и π − α. Второй угол возникает из симметрии синусоидальной волны относительно вертикали x = π/2: симметричные углы имеют одинаковую ординату. При a = 1 или a = −1 две точки сливаются в одну, поэтому для этих значений отдельно записывают особые формулы.

Синус периодичен с периодом 2π: при любом целом k значения sin x и sin(x + 2πk) совпадают. Поэтому каждый найденный угол порождает целую серию решений, если к нему прибавлять целое число полных оборотов. Для двух исходных углов получаются серии α + 2πk и π − α + 2πk. Именно периодичность превращает решения на одном периоде в полное множество корней.

Две серии можно объединить записью x = (−1)ⁿ arcsin a + πn, где n — любое целое число. При чётном n знак перед арксинусом положительный, а прибавка πn даёт целое число периодов; при нечётном n знак меняется и появляется второй тип углов. Так одна формула поочерёдно перечисляет обе серии. Она применима при |a| ≤ 1 и включает особые случаи a = 1 и a = −1.

Решения уравнения sin x = a

Таблица показывает, какие формулы использовать в зависимости от числа a. Для промежуточных значений от −1 до 1 нужны две серии, а на концах этого промежутка остаётся по одной серии. Сначала проверьте условие на a, затем выберите соответствующую строку. Параметр k во всех формулах принимает любые целые значения.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение sin x = 1/2. Сначала находим главный угол: arcsin(1/2) = π/6. Поскольку значение находится между −1 и 1, на периоде есть два угла, после чего добавляем полные периоды.

1. Записываем первое семейство: x = π/6 + 2πk, k ∈ ℤ.
2. Для второго угла вычисляем π − π/6 = 5π/6, поэтому x = 5π/6 + 2πk, k ∈ ℤ.
3. Проверяем исходное уравнение: синус обоих исходных углов равен 1/2, а добавление 2πk его не меняет.

Ответ: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ ℤ.

Задача 2. Решить уравнение sin x = −√2/2 на промежутке [0; 2π). Арксинус отрицателен: arcsin(−√2/2) = −π/4. Вначале найдём все серии решений, а затем выберем из них углы от 0 включительно до 2π, не включая 2π.

1. Первое семейство: x = −π/4 + 2πk. При k = 0 угол меньше нуля, а при k = 1 получаем 7π/4.
2. Второе семейство: x = π − (−π/4) + 2πk = 5π/4 + 2πk. При k = 0 угол попадает в промежуток.
3. Других значений k, дающих углы в [0; 2π), нет: увеличение k на единицу сдвигает корень на полный период 2π.

Ответ: x = 5π/4 и x = 7π/4.

Задача 3. Решить уравнение sin(2x − π/6) = √3/2. Аргумент синуса — всё выражение 2x − π/6, поэтому сначала решаем уравнение относительно него. Так мы не теряем ни одну серию углов, а затем обычными преобразованиями находим x.

1. Пусть t = 2x − π/6. Так как arcsin(√3/2) = π/3, получаем t = π/3 + 2πk или t = 2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ.
2. Решаем первое линейное уравнение: 2x − π/6 = π/3 + 2πk, откуда 2x = π/2 + 2πk и x = π/4 + πk.
3. Решаем второе: 2x − π/6 = 2π/3 + 2πk, откуда 2x = 5π/6 + 2πk и x = 5π/12 + πk.
4. Обе серии проверяют все допустимые значения аргумента; в каждой k остаётся целым, поскольку деление на 2 уже выполнено в формулах.

Ответ: x = π/4 + πk или x = 5π/12 + πk, k ∈ ℤ.

Типичные ошибки

Записывают только arcsin a и теряют второе семейство решений. Это происходит, если принять главный угол за единственный угол с нужным синусом, хотя на периоде обычно есть и π − arcsin a. Проверьте ответ по окружности или подстановкой: найденные углы должны давать все пересечения графика с уровнем a. Для a = 1 и a = −1 отдельно учитывайте совпадение углов.

Прибавляют к решениям π вместо 2π. Такая ошибка возникает из-за того, что π встречается в формуле второго угла, но период синуса равен 2π. Прибавление π обычно меняет знак синуса, а значит, не сохраняет значение уравнения. Проверка проста: сравните sin(x + π) и sin x — они противоположны.

Применяют arcsin к числу вне [−1; 1]. Иногда вычисления начинают сразу, не проверив, может ли синус вообще принять указанное значение. Если |a| > 1, действительных решений нет и арксинус такого числа в этой задаче не определён. Перед решением сравните a с границами −1 и 1.

Забывают, что k или n — целое число, либо оставляют все корни, хотя задан промежуток. Параметр нужен для перечисления повторов через полный период, поэтому произвольное вещественное значение недопустимо. При ограничении на x не всякий целый параметр подходит. Подставьте значения параметра в формулу и проверьте каждый полученный корень по границам промежутка.

Связь с другими темами

Для решения нужны значения синуса на единичной окружности, его область значений и период 2π. Эти знания объясняют, откуда берутся ограничения на a, исходные углы и повторяющиеся серии корней. Полученный способ применяется в более сложных тригонометрических уравнениях и неравенствах, когда синус входит в состав выражения. Работа с целым параметром также помогает отбирать корни на заданном промежутке.

Что запомнить

• Синус принимает значения только от −1 до 1.
• Если |a| > 1, уравнение sin x = a не имеет действительных решений.
• Арксинус числа a — угол из [−π/2; π/2].
• При |a| ≤ 1 общее решение можно записать как x = (−1)ⁿ arcsin a + πn, n ∈ ℤ.
• Период синуса равен 2π.
• При решении на промежутке из общего решения нужно выбрать только подходящие значения.