§ 33. Уравнение cos х = а

Определения и обозначения

Уравнение cos x = a — это уравнение, в котором требуется найти все значения x, при которых косинус равен заданному числу a. Неизвестное x обозначает угол, а a — фиксированное число. Решить уравнение означает перечислить все подходящие углы, а не только один из них. Это нужно учитывать, потому что косинус принимает одинаковые значения при разных углах.

Арккосинус числа a обозначают arccos a и определяют как единственное значение угла из отрезка [0; π], косинус которого равен a. Например, arccos(1/2) = π/3, поскольку cos(π/3) = 1/2. Арккосинус определён только при −1 ≤ a ≤ 1, ведь косинус не принимает чисел за этими границами. Он помогает выразить угол через заданное значение косинуса.

Общее решение уравнения cos x = a при −1 < a < 1 записывают так: x = ± arccos a + 2πk, где k ∈ Z. Здесь Z — множество целых чисел, а k позволяет получить все повторения корней. Знак ± означает, что нужно рассмотреть и плюс, и минус перед арккосинусом. Формула объединяет два угла за период и все их дальнейшие повторения.

Как это устроено

Косинус любого действительного угла не меньше −1 и не больше 1. Поэтому если a > 1 или a < −1, равенство cos x = a невозможно: график y = cos x целиком остаётся в полосе между прямыми y = −1 и y = 1. Это сразу позволяет проверить, существуют ли действительные корни, ещё до вычислений. Если a находится вне отрезка [−1; 1], искать арккосинус и подставлять его в формулу нельзя.

Когда −1 < a < 1, горизонтальная прямая y = a пересекает график косинуса дважды на отрезке длины 2π. На участке от 0 до π косинус убывает, а на участке от π до 2π возрастает, поэтому внутренний уровень достигается на каждом из этих участков. Пересечения соответствуют углам arccos a и 2π − arccos a; второй угол можно записать как −arccos a + 2π. Так появляется знак ± в общей формуле.

Косинус периодичен: cos(x + 2π) = cos x. Значит, если угол x является корнем, то корнями будут также x + 2π, x − 2π и дальнейшие сдвиги на целое число периодов. Все такие углы записывают одним выражением, прибавляя 2πk, где k — любое целое число. Шаг равен именно 2π, потому что это период косинуса.

На границах диапазона число пересечений меняется. При a = 1 график касается прямой y = 1 в точках x = 2πk, а при a = −1 достигает прямой y = −1 в точках x = π + 2πk. В обоих случаях две ветви с ± из общей формулы дают совпадающие значения, а не две разные серии. Поэтому для граничных значений используют отдельные короткие формулы.

Если a не относится к знакомым табличным значениям, сначала проверяют условие −1 ≤ a ≤ 1, затем находят arccos a — точно или приближённо. После этого подставляют полученный угол в формулу x = ± arccos a + 2πk, не забывая обе ветви и целые k. Например, если arccos a = α, корни имеют вид α + 2πk и −α + 2πk. При заданном промежутке из этих серий оставляют только попавшие в него значения.

Число решений и формулы решений уравнения cos x = a

Сначала сравните a с границами −1 и 1: это покажет, есть ли корни и какую строку таблицы использовать. «За период» означает число различных корней на отрезке длины 2π без повторного счёта одинаковых концов. Если в задаче дан конкретный промежуток, формулу общего решения нужно дополнительно проверить на принадлежность этому промежутку.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение cos x = 1/2.

1. Число 1/2 лежит между −1 и 1, поэтому используем общую формулу для внутреннего значения a.
2. По табличным значениям arccos(1/2) = π/3. Подставляем угол: x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z.
3. Раскрываем знак ±, чтобы явно увидеть обе серии: x = π/3 + 2πk или x = −π/3 + 2πk. Вторая серия также записывается как x = 5π/3 + 2πk.

Ответ: x = π/3 + 2πk или x = −π/3 + 2πk, k ∈ Z. Две серии нужны потому, что уровень 1/2 пересекает график косинуса в двух точках за период. Проверка при k = 0 даёт углы π/3 и −π/3, косинус каждого равен 1/2.

Задача 2. Решить уравнение cos x = −√2/2 на промежутке [0; 2π].

1. Число −√2/2 принадлежит [−1; 1], поэтому сначала найдём общее решение. Угол arccos(−√2/2) равен 3π/4: он лежит в [0; π] и имеет нужный косинус.
2. Подставляем его в формулу: x = ±3π/4 + 2πk, k ∈ Z. Это даёт две серии: x = 3π/4 + 2πk и x = −3π/4 + 2πk.
3. Отбираем значения на [0; 2π]. Из первой серии подходит 3π/4. Во второй при k = 1 получается 5π/4; значения при остальных целых k выходят за промежуток.

Ответ: x = 3π/4 и x = 5π/4. Оба угла действительно лежат между 0 и 2π и имеют косинус −√2/2. При отборе важно не отбрасывать отрицательный представитель сразу: прибавление периода может перенести его в заданный промежуток.

Задача 3. При каких a уравнение имеет ровно одно решение на [0; 2π)?

1. Промежуток полуоткрытый: 0 включён, а 2π не включён. Это важно, поскольку косинус в этих концах равен 1, а сами точки не считаются двумя разными решениями.
2. Если |a| > 1, решений нет. Если −1 < a < 1, за период есть два различных корня, поэтому эти значения a не подходят.
3. При a = 1 корень на промежутке только x = 0; точка 2π исключена. При a = −1 единственный корень — x = π.

Ответ: a = 1 или a = −1. Проверка границ промежутка объясняет, почему значение 1 даёт один корень, а не два: 0 и 2π представляют одно и то же значение косинуса, но 2π не входит в указанный промежуток.

Типичные ошибки

Иногда записывают только x = arccos a + 2πk и теряют вторую серию корней. Так делают, если рассматривают лишь угол из определения арккосинуса и забывают о симметричном пересечении графика. При −1 < a < 1 нужно учитывать также x = −arccos a + 2πk. Проверка по графику или подстановка двух углов за период помогает заметить пропуск.

Другая ошибка — прибавлять πk, хотя период косинуса равен 2π. Сдвиг на π меняет знак косинуса: cos(x + π) = −cos x, поэтому полученные углы обычно не являются корнями того же уравнения. Проверяйте шаг повторения подстановкой: при добавлении периода значение функции должно остаться прежним. Для косинуса общий сдвиг — 2πk.

Нельзя применять формулу с arccos a при |a| > 1. Арккосинус действительного числа определён только на отрезке [−1; 1], потому что вне него нет угла с таким косинусом. Ошибка возникает, когда формулу запоминают без проверки условия на a. Сначала сравните заданное число с границами диапазона косинуса.

Для a = 1 или a = −1 порой записывают две различные серии, хотя на границе они совпадают или описывают одну последовательность корней. Это происходит при механическом применении знака ± без проверки результата. Подставьте граничное значение в формулу и сравните полученные серии: для a = 1 остаётся x = 2πk, для a = −1 — x = π + 2πk.

Связь с другими темами

Для решения уравнения полезны единичная окружность и представление о значениях косинуса: они показывают, каким углам соответствуют числа от −1 до 1. Периодичность функции объясняет, почему решения образуют бесконечные серии. Эти знания позволяют проверить и формулу, и найденные корни.

Табличные значения тригонометрических функций помогают быстро находить арккосинус знакомых чисел, например 1/2 или −√2/2. Целый параметр k используют, чтобы записать все повторения угла, а не только корни на одном промежутке. Если промежуток задан, нужно уметь отбирать из серий значения, попадающие в его границы.

Тот же подход применяется к уравнению sin x = a, хотя формула и симметрия у синуса устроены иначе. Умение разбирать диапазон значений функции, находить углы и учитывать период пригодится и в других тригонометрических уравнениях. Поэтому здесь важно освоить не только подстановку в формулу, но и смысл каждой её части.

Что запомнить

• Значения косинуса принадлежат отрезку [−1; 1].
• Уравнение cos x = a не имеет действительных решений при |a| > 1.
• При −1 < a < 1 общее решение: x = ± arccos a + 2πk, k ∈ Z.
• Арккосинус определён при −1 ≤ a ≤ 1 и принимает значения из [0; π].
• При a = 1 решения имеют вид x = 2πk.
• При a = −1 решения имеют вид x = π + 2πk.
• Период косинуса равен 2π.