Уравнение cos х = а

Определения и обозначения

Уравнение cos x = a — тригонометрическое уравнение, в котором требуется найти значения x по заданному значению косинуса a. Иначе говоря, нужно отыскать все углы, у которых косинус равен числу справа. Такая запись помогает решать задачи, где неизвестен угол, но известно значение его косинуса.

Арккосинус числа a обозначают arccos a: это угол из отрезка [0; π], косинус которого равен a. Например, arccos(½) = π/3, потому что cos(π/3) = ½. Арккосинус задаёт один основной угол, от которого удобно получить остальные корни.

Допустимые значения параметра a — числа из отрезка [−1; 1], поскольку косинус любого угла не бывает больше 1 или меньше −1. Поэтому до решения полезно проверить, попадает ли заданное число в эти границы. Если нет, уравнение не имеет корней.

Общее решение — запись всех корней уравнения с учётом периодичности косинуса. В формуле используют n ∈ Z, то есть n может быть любым целым числом. Такая запись включает не только углы одного оборота, но и все их повторения.

Как это устроено

Косинус любого угла лежит между −1 и 1, потому что на единичной окружности он соответствует абсциссе точки, а абсцисса не выходит за эти пределы. Поэтому при a > 1 или a < −1 равенство cos x = a невозможно. Если же a попадает в отрезок [−1; 1], соответствующая горизонтальная координата встречается на окружности, и уравнение имеет решения.

По определению арккосинуса cos(arccos a) = a, поэтому x = arccos a — один корень. Это основной корень, выбранный на отрезке [0; π], где каждому допустимому значению косинуса соответствует ровно один угол. Но он не всегда является единственным решением на всей числовой прямой.

Косинус чётный: cos(−x) = cos x. Значит, если cos(arccos a) = a, то и cos(−arccos a) = a. Так появляются два симметричных угла, записываемых как ± arccos a; при −1 < a < 1 они дают две серии корней за один период.

Косинус повторяет значения через 2π: cos(x + 2π) = cos x. Поэтому к каждому найденному углу можно прибавить любое целое число полных периодов, получая запись x = ± arccos a + 2πn, где n ∈ Z. Прибавлять π в этой общей формуле нельзя: сдвиг на π меняет знак косинуса, а не сохраняет его.

На концах допустимого отрезка две симметричные серии совпадают: при a = 1 угол равен 0, а при a = −1 — π. При a = 0 косинус обращается в ноль при π/2 и 3π/2 за один период, поэтому все решения можно объединить формулой x = π/2 + πn. Эти частные записи короче общей и не считают одинаковые корни дважды.

Решение уравнения cos x = a

В таблице собраны случаи, которые полезно различать до записи ответа. Сначала проверьте значение a, затем выберите соответствующую строку. Если в условии задан промежуток для x, после этого отберите из общей серии только корни внутри него.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение cos x = 1/2.

1. Проверяем допустимость: 1/2 находится между −1 и 1, значит, корни существуют.
2. Используем общую формулу: x = ± arccos(1/2) + 2πn, n ∈ Z.
3. Так как arccos(1/2) = π/3, получаем x = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z.

Ответ: x = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z. На каждом полном периоде эти серии дают два угла с косинусом 1/2. Числа n нужны, чтобы учесть повторения углов в обе стороны на числовой прямой.

Задача 2. Решить уравнение cos x = −√2/2 на промежутке [0; 2π].

1. Значение −√2/2 допустимо; его опорный угол равен π/4, так как cos(π/4) = √2/2.
2. Косинус отрицателен во второй и третьей четвертях. В пределах одного оборота подходящие углы — π − π/4 = 3π/4 и π + π/4 = 5π/4.
3. Оба числа входят в промежуток [0; 2π], поэтому дополнительных корней на нём нет.

Ответ: x = 3π/4 и x = 5π/4. При отборе мы использовали не только значение косинуса, но и знак: отрицательные значения он принимает в левой половине окружности. Концы заданного промежутка проверены, ни один из них корнем не является.

Задача 3. Решить уравнение 2cos x − √3 = 0 и записать корни на [−π; 3π].

1. Выражаем косинус: 2cos x = √3, значит, cos x = √3/2. Это допустимое значение.
2. Записываем общие корни: arccos(√3/2) = π/6, поэтому x = ±π/6 + 2πn, n ∈ Z.
3. Проверяем целые n по промежутку [−π; 3π]. При n = 0 получаем −π/6 и π/6, при n = 1 — 11π/6 и 13π/6. При других целых n корни выходят за заданные границы.

Ответ: x ∈ {−π/6; π/6; 11π/6; 13π/6}. Отбор удобно проводить отдельно для каждой серии, сравнивая полученные значения с концами промежутка. Границы −π и 3π не являются корнями, поэтому дополнительных значений у концов нет.

Типичные ошибки

Записывать решения при |a| > 1 — значит забыть о диапазоне значений косинуса. Это случается, когда сразу подставляют число в формулу, не проверив условие существования корней. Для самопроверки сравните a с границами −1 и 1: если он вне отрезка, ответом должно быть «решений нет».

Если написать только x = arccos a, теряется симметричный угол −arccos a и связанные с ним корни. Обычно это происходит из-за того, что определение арккосинуса задаёт лишь основной угол, а не все решения уравнения. Проверьте себя равенством cos(−x) = cos x и убедитесь, что учли оба знака.

Подстановка πn вместо 2πn в общей формуле смешивает период косинуса с изменением знака при сдвиге на π. При таком сдвиге значение косинуса меняет знак, поэтому новые числа могут не быть корнями исходного уравнения. Проверка простая: подставьте x + π в cos x и сравните результат с cos x.

При заданном промежутке иногда выбирают не все подходящие корни или ошибочно исключают корень на границе. Причина — попытка угадать значения без проверки каждой серии. Запишите формулу с целым n, подберите все целые n, дающие x внутри промежутка, и отдельно проверьте его концы.

Связь с другими темами

Для решения нужны единичная окружность, табличные значения косинуса, его чётность и периодичность: именно они объясняют расположение и повторение корней. Освоив эту формулу, легче решать более сложные тригонометрические уравнения и неравенства, где косинус входит в состав выражения. Та же логика помогает исследовать графики: решения уравнения соответствуют точкам пересечения графика y = cos x с горизонтальной прямой y = a. Это связывает вычисления с геометрическим представлением функции и применяется в задачах математического анализа.

Что запомнить

• Уравнение cos x = a имеет решения только при −1 ≤ a ≤ 1.
• Основной корень задаётся формулой x = arccos a.
• При −1 < a < 1 общее решение: x = ± arccos a + 2πn.
• Число n — любое целое.
• Период косинуса равен 2π.
• При a = 1 решения имеют вид x = 2πn.
• При a = −1 решения имеют вид x = π + 2πn.