"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)", Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Суммы и разности синусов или косинусов можно заменить произведением двух тригонометрических выражений. В формулах участвуют полусумма и полуразность исходных углов, поэтому они помогают упрощать выражения и решать уравнения. Главное — верно выбрать формулу, не перепутать синус с косинусом и сохранить минус в формуле разности косинусов. Преобразование особенно удобно, когда произведение проще приравнять к нулю.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формула суммы синусов записывается так: sin α + sin β = 2 sin((α + β)/2) cos((α − β)/2). Она показывает, что сумму синусов можно представить как произведение двух выражений. α и β — исходные углы, а выражения в скобках справа — их полусумма и полуразность. Такая запись удобна, когда произведение проще преобразовать или использовать в уравнении.
Формула разности синусов: sin α − sin β = 2 cos((α + β)/2) sin((α − β)/2). При вычитании синусов множителем с полусуммой становится косинус, а множителем с полуразностью — синус. Формула полезна, если нужно найти разность значений или превратить её в произведение. Порядок углов имеет значение: полуразность берётся как α − β.
Формула суммы косинусов имеет вид cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) cos((α − β)/2). Сумма косинусов тоже раскладывается в произведение, причём оба множителя содержат косинус. Эту формулу применяют для упрощения выражений и подготовки уравнения к разложению на множители. Если поменять α и β местами, значение произведения не изменится.
Формула разности косинусов: cos α − cos β = −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2). Здесь оба множителя — синусы, но перед произведением обязательно стоит минус. Он является частью равенства, а не условным обозначением. Формула позволяет быстро преобразовать разность косинусов и особенно требует проверки знака при вычислениях.
Чтобы получить формулы, обозначим полусумму углов через m = (α + β)/2, а полуразность — через d = (α − β)/2. Тогда α = m + d, а β = m − d: сумма этих двух новых углов даёт α, а их разность — β. Подставляя такие выражения в формулы сложения синусов или косинусов, получаем равенства для исходных функций. Именно поэтому в результатах одновременно появляются m и d, то есть полусумма и полуразность.
Полусумма и полуразность не вводятся произвольно: они позволяют описать оба исходных угла через общий центр m и отклонение d от него. Один угол оказывается на d больше центра, второй — на d меньше. Когда раскрываются формулы сложения, слагаемые, содержащие произведения синуса и косинуса, либо складываются, либо сокращаются. В итоге остаётся произведение функций от m и d.
В формулах для синусов при сложении получается 2 sin m cos d, то есть синус полусуммы умножается на косинус полуразности. При вычитании слагаемые с косинусом m, умноженным на sin d, сохраняются, а слагаемые с sin m cos d сокращаются. Поэтому разность записывается как 2 cos m sin d. Такая пара формул помогает не путать множители: при переходе от суммы к разности меняются местами и синус с косинусом.
Для суммы косинусов после сложения формул остаётся произведение cos m cos d. При вычитании, наоборот, сокращаются слагаемые с cos m cos d, а оставшиеся дают произведение синусов. Его знак отрицательный: это следует из формулы cos(m + d) = cos m cos d − sin m sin d и вычитания cos(m − d). Поэтому в cos α − cos β перед произведением обязательно стоит минус.
При выборе формулы сначала определите, какая функция складывается или вычитается, и сохраните порядок углов в полуразности. Затем вычислите полусумму и полуразность, не забывая делить на два. В уравнении полученное произведение часто позволяет приравнять множители к нулю; в числовом выражении можно подставить значения особых углов. Проверка на простых значениях, например α = 60° и β = 0°, помогает обнаружить перепутанный множитель или пропущенный знак.
| Выражение | Равное ему произведение |
|---|---|
| sin α + sin β | 2 sin((α + β)/2) cos((α − β)/2) |
| sin α − sin β | 2 cos((α + β)/2) sin((α − β)/2) |
| cos α + cos β | 2 cos((α + β)/2) cos((α − β)/2) |
| cos α − cos β | −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2) |
Найдите в левом столбце нужное выражение, а затем перепишите его как произведение из правого столбца. Перед подстановкой проверьте, где стоят плюс или минус и в каком порядке записаны углы. Если углы заданы в градусах, полусумму и полуразность тоже вычисляйте в градусах.
Ответ: 2 sin 45° cos 30° (или √6/2).
Ответ: −√2/2.
Ответ: x = πk/3 для k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или x = π/4 + πk/2 для k = 0, 1, 2, 3.
Первая ошибка — перепутать полусумму и полуразность или забыть разделить их на два. Это часто происходит, когда ученик сразу подставляет углы в формулу, не выписав промежуточные вычисления. Сначала отдельно найдите (α + β)/2 и (α − β)/2, а затем проверьте, что их сумма и разность дают исходные углы.
В формулах для синусов легко поменять местами синус и косинус: например, записать синус полусуммы при разности. Причина — формулы похожи, но множители в них распределяются по-разному. Сверьте выражение с таблицей и подставьте простые углы; для суммы и разности синусов при β = 0 обе стороны должны сводиться к sin α.
При разности косинусов иногда теряют минус: пишут положительное произведение синусов. Так происходит, когда формулу вспоминают по похожему виду, не выводя её из сложения. Проверьте результат при α = 60°, β = 0°: cos 60° − cos 0° = −1/2, поэтому формула без минуса дала бы неверный знак.
Ещё одна ошибка — применять формулу преобразования суммы в произведение так, будто она не меняет множители и знаки, или использовать её в обратном направлении без проверки. Прямые формулы задают конкретное равенство, и при перестановке его частей само выражение должно остаться равным. Для самопроверки восстановите исходные углы и сравните результат подстановкой простых значений.
Для вывода формул нужны формулы сложения синусов и косинусов, а вычислять результат помогают значения функций для основных углов. Преобразование суммы в произведение полезно при упрощении тригонометрических выражений и решении уравнений: произведение можно приравнять к нулю и рассмотреть множители по отдельности. Эти формулы связаны и с обратным преобразованием произведения синусов или косинусов в сумму. Умение переходить в обе стороны позволяет выбирать наиболее удобный вид выражения.
Как запомнить формулы суммы и разности синусов?
Сравнивайте формулы по двум признакам: при сумме синусов первым множителем служит синус полусуммы, при разности — косинус полусуммы. Второй множитель содержит полуразность; для суммы синусов это косинус, для разности — синус.
Почему в формулах появляются полусумма и полуразность углов?
Исходные углы выражают через полусумму и полуразность: α = (α + β)/2 + (α − β)/2, β = (α + β)/2 − (α − β)/2. После подстановки в формулы сложения возникают именно эти два угла.
Где именно стоит минус в формуле разности косинусов?
Минус стоит перед всем произведением: cos α − cos β = −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2). Его нельзя переносить только к одному из углов или опускать.
Можно ли применять эти формулы, если углы заданы в радианах?
Да, формулы верны и для градусов, и для радиан. Нужно только выполнять все вычисления в одной и той же единице измерения.
Как с помощью формул суммы синусов или косинусов решать уравнения?
Сначала преобразуйте сумму или разность в произведение, затем приравняйте каждый множитель к нулю. Решите полученные уравнения и оставьте только корни, принадлежащие заданному промежутку.
Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов
