"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Сумму или разность синусов и косинусов можно заменить произведением двух тригонометрических выражений. Для этого используют полусумму и полуразность аргументов: так называют половины их суммы и разности. Формулы помогают вычислять значения, упрощать выражения, доказывать тождества и решать уравнения. Главное — правильно подставить аргументы и сохранить знаки, особенно в формуле разности косинусов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма синусов — это выражение sin α + sin β, которое по формуле преобразуется в произведение: 2 sin((α + β)/2) cos((α − β)/2). Буквы α и β обозначают углы или любые аргументы синуса. Такое представление нужно, когда сумму удобнее вычислить или упростить как произведение.
Разность синусов — выражение sin α − sin β, равное произведению 2 cos((α + β)/2) sin((α − β)/2). В отличие от формулы суммы синусов здесь косинус связан с полусуммой, а синус — с полуразностью. Запись помогает, например, увидеть общий множитель или найти нули выражения.
Сумма косинусов — выражение cos α + cos β, которое представляется как 2 cos((α + β)/2) cos((α − β)/2). Оба множителя здесь — косинусы: один зависит от полусуммы аргументов, другой — от полуразности. Это преобразование часто делает вычисление суммы косинусов проще.
Разность косинусов — выражение cos α − cos β, равное −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2). Перед произведением обязательно стоит минус, поэтому эту формулу нельзя смешивать с формулой суммы косинусов. Она позволяет заменить разность косинусов произведением синусов и исследовать его множители по отдельности.
Формулы получают из известных формул синуса и косинуса суммы и разности аргументов. Обозначим u = (α + β)/2 и v = (α − β)/2; тогда α = u + v, а β = u − v. Например, sin α + sin β становится суммой sin(u + v) и sin(u − v). После раскрытия по формулам суммы аргументов слагаемые с sin u складываются, а с cos u взаимно уничтожаются: получается 2 sin u cos v.
Для разности синусов исходные выражения тоже записывают через u + v и u − v, но второе вычитают. Теперь слагаемые с sin u уничтожаются, а слагаемые с cos u складываются; результат — 2 cos u sin v. Значит, полусумма и полуразность не выбраны наугад: это именно такие части, из которых восстанавливаются оба исходных аргумента. Их использование позволяет собрать похожие слагаемые после раскрытия формул.
У косинусов при сложении cos(u + v) и cos(u − v) слагаемые с sin u sin v имеют противоположные знаки и исчезают. Остаётся 2 cos u cos v — формула суммы косинусов. При вычитании, наоборот, косинусные слагаемые уничтожаются, а разность частей с синусами даёт −2 sin u sin v. Минус появляется из равенства cos(u + v) = cos u cos v − sin u sin v: после вычитания второй формулы синусные части дают отрицательное удвоенное произведение.
Каждую формулу выбирают по двум признакам: какая функция стоит в выражении и соединены ли аргументы сложением или вычитанием. Затем выражение заменяют произведением, сохраняя порядок аргументов в полуразности. Например, при переходе от cos α − cos β к формуле с α и β полуразность равна (α − β)/2, а не (β − α)/2. Если изменить порядок аргументов, синус полуразности поменяет знак.
Преобразование полезно не только для записи выражения в другом виде. В произведении проще заметить общий множитель, сократить выражение или применить правило: произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. При упрощении выбирайте сумму или разность так, чтобы формула дала удобные аргументы либо множители. Для доказательства тождества можно начать с той части, где видна сумма или разность синусов либо косинусов, и преобразовать её к форме другой части равенства.
| Выражение | Формула произведения |
|---|---|
| sin α + sin β | 2 sin((α + β)/2) cos((α − β)/2) |
| sin α − sin β | 2 cos((α + β)/2) sin((α − β)/2) |
| cos α + cos β | 2 cos((α + β)/2) cos((α − β)/2) |
| cos α − cos β | −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2) |
Сначала найдите подходящую строку по функции и знаку между слагаемыми, затем подставьте аргументы на места α и β. После подстановки отдельно вычислите полусумму и полуразность — так легче не перепутать множители. Если аргументы переменные, складывайте и вычитайте их как обычные алгебраические выражения.
Здесь сумма синусов, поэтому полусумма аргументов попадёт в синус, а полуразность — в косинус. Углы заданы в градусах, значит, результат вычисления тригонометрических функций тоже будем записывать в градусах. После преобразования останется найти значения функций от простых углов.
Ответ: sin 75° + sin 15° = 2 sin 45° cos 30° = √6/2. Полусумма дала угол 45°, а полуразность — 30°. Если бы в формулу ошибочно подставили только половину одного из исходных углов, результат оказался бы другим.
Это разность косинусов, поэтому перед произведением будет множитель −2, а оба множителя будут синусами. Обозначим первый аргумент α = 5x, второй β = x. Особенно внимательно вычислим полусумму и полуразность, сохранив порядок «первый минус второй».
Ответ: cos 5x − cos x = −2 sin 3x sin 2x = −4 sin 3x sin x cos x. Первую форму удобно использовать как преобразование в произведение, вторую — если нужно выделить множители sin x и cos x. Знак минус сохраняется при обоих преобразованиях.
В левой части тождества стоит сумма синусов, а их аргументы 5x и 3x. Формула сразу даст полусумму 4x и полуразность x, поэтому правая часть должна получиться без дополнительных преобразований. Для уравнения используем ту же замену, а затем правило нулевого произведения.
Ответ: тождество доказано; решения уравнения — x = πn/4, n ∈ Z. При объединении серий достаточно оставить одну, если все значения второй уже входят в первую. Так учитывается общая периодичность и не записываются решения повторно.
Можно перепутать полусумму и полуразность или забыть разделить на 2 оба выражения. Так бывает, если подставлять аргументы в формулу на память, не выделив скобки. Проверьте вычисления отдельно: сначала запишите (α + β)/2 и (α − β)/2, а затем упростите каждое.
В формуле разности косинусов иногда теряют минус и пишут произведение с положительным множителем 2. Ошибка возникает из-за смешения этой формулы с суммой косинусов, где перед произведением стоит плюс. Для проверки возьмите α = 0, β = 60°: cos 0° − cos 60° положительно, тогда как sin 30° sin(−30°) отрицательно; множитель −2 даёт нужный знак.
Перестановка аргументов в разности меняет знак полуразности: (β − α)/2 = −(α − β)/2. Поскольку синус нечётный, sin(−t) = −sin t, при перестановке может измениться знак всего результата. Чтобы избежать ошибки, подставляйте аргументы в том порядке, в котором они стоят в исходном выражении, и проверяйте равенство перестановкой вместе с изменением знака.
Наконец, не всегда достаточно просто переписать сумму как произведение: задача может требовать вычислить значение или довести выражение до более простой формы. Эту ошибку допускают, когда останавливаются сразу после применения формулы. Сверьтесь с условием и упростите множители, раскройте нужную формулу или найдите значение функций; подстановка простых аргументов помогает проверить результат.
Для вывода формул нужно знать формулы синуса и косинуса суммы и разности аргументов, а для вычислений — значения основных тригонометрических функций. Преобразования суммы в произведение применяются при упрощении выражений, доказательстве тождеств и решении тригонометрических уравнений. Они связаны с обратными формулами, которые превращают произведение тригонометрических функций в сумму: вместе эти правила помогают переходить от одной формы выражения к другой.
Как быстро выбрать формулу для суммы или разности синусов и косинусов?
Сначала определите вид функции и знак между слагаемыми: синусы или косинусы, сумма или разность. Затем найдите в таблице соответствующую строку и подставьте первый аргумент вместо α, второй — вместо β.
Почему в формулах используются полусумма и полуразность аргументов?
Формулы суммы и разности аргументов позволяют выразить исходные функции через аргументы α + β и α − β. При сложении или вычитании таких равенств появляются половины этих выражений — (α + β)/2 и (α − β)/2.
Как не перепутать знаки в формуле разности косинусов?
Запомните, что cos α − cos β = −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2): перед произведением стоит минус. Проверить знак можно, например, при α = 0 и β = 60°: левая часть положительна, а второй синус справа отрицателен, поэтому множитель −2 необходим.
Можно ли применять эти формулы, если аргументы записаны через переменную?
Да. Аргументами могут быть выражения с переменной, например 5x и x. Подставляйте их вместо α и β целиком, а затем упрощайте полусумму и полуразность.
Как использовать преобразование в произведение при решении уравнения?
Замените сумму или разность функций произведением по подходящей формуле. Если произведение равно нулю, приравняйте к нулю каждый множитель и объедините полученные серии решений, учитывая периодичность тригонометрических функций.
§ 12. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов
