"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Формулы приведения позволяют заменить значение тригонометрической функции сложного угла значением функции острого угла α. Они нужны, чтобы быстро вычислять выражения, упрощать формулы и решать уравнения. Главное — определить вид угла, понять, сохраняется ли функция или заменяется кофункцией, а затем выбрать знак по четверти, в которой находится исходный угол.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формулы приведения — равенства, позволяющие выразить значение тригонометрической функции угла через функцию угла α. Они превращают неудобный угол, например 5π/6, в острый угол π/6, значение которого проще найти или запомнить.
Аргумент α — угол, к которому приводят исходный угол; обычно α выбирают острым. Такой выбор не обязателен во всех преобразованиях, но он делает четверть и знак результата очевидными.
Правило смены функции показывает, когда функция заменяется кофункцией: синус — косинусом, косинус — синусом, тангенс — котангенсом и наоборот. Оно действует для углов вида π/2 ± α и 3π/2 ± α.
Правило знака помогает определить знак результата по знаку исходной функции в четверти, где находится исходный угол. Поэтому сначала анализируют весь угол, а не только α или знак между частями выражения.
Формулы приведения следуют из периодичности, чётности и нечётности тригонометрических функций. Периодичность позволяет убрать полные обороты: sin и cos повторяются через 2π, а tg и ctg — через π. Чётность косинуса и нечётность синуса, тангенса и котангенса определяют знак при замене x на −x.
В углах π/2 ± α и 3π/2 ± α меняется функция, потому что поворот на π/2 переводит горизонтальную координату единичной окружности в вертикальную и наоборот. Поэтому синус становится косинусом, а тангенс — котангенсом. Знак затем устанавливают отдельно по четверти.
В углах π ± α и 2π ± α функция сохраняется: добавление π отражает точку единичной окружности относительно начала координат, а добавление 2π возвращает её в прежнее положение. При этом координаты могут сменить знаки, поэтому сама функция остаётся той же, но перед ней появляется плюс или минус. Так получаются, например, cos(π − α) = −cos α и sin(2π − α) = −sin α.
Знак нельзя выбирать по знаку α. Например, при α > 0 угол π − α находится во второй четверти, где косинус отрицателен, поэтому cos(π − α) = −cos α. Если α острый, cos α положителен, но это не отменяет знака исходной функции.
Единый алгоритм таков: представьте угол как один из табличных видов, определите четверть исходного угла, решите, меняется ли функция, и поставьте найденный знак. После преобразования проверьте область определения, особенно для тангенса и котангенса. Такой порядок сводит вычисление большого или неудобного угла к значению для острого угла.
| Угол | sin | cos | tg | ctg |
|---|---|---|---|---|
| π/2 − α | cos α | sin α | ctg α | tg α |
| π/2 + α | cos α | −sin α | −ctg α | −tg α |
| π − α | sin α | −cos α | −tg α | −ctg α |
| π + α | −sin α | −cos α | tg α | ctg α |
| 3π/2 − α | −cos α | −sin α | ctg α | tg α |
| 3π/2 + α | −cos α | sin α | −ctg α | −tg α |
| 2π − α | −sin α | cos α | −tg α | −ctg α |
| 2π + α | sin α | cos α | tg α | ctg α |
Сначала найдите в первом столбце форму исходного угла, затем выберите нужный столбец функции. Если угол записан иначе, сначала прибавьте или вычтите период, чтобы получить табличный вид.
Знак в ячейке уже учитывает четверть исходного угла. Но ограничения для tg и ctg всё равно нужно проверять отдельно.
Угол уже записан в стандартном виде, поэтому дополнительное преобразование не требуется.
Ответ: sin(π/2 − α) = cos α.
Представим данный угол через π и острый угол π/6.
Ответ: −√3/2.
У тангенса период π, поэтому сначала уберём лишние полные периоды.
Ответ: tg(7π/2 + α) = −ctg α, α ≠ πk, k ∈ Z.
Меняют функцию при любом слагаемом π/2. Такое происходит, если ориентироваться только на отдельное число, а не на весь вид угла. Сверяйте выражение с таблицей: при π ± α функция сохраняется.
Выбирают знак по знаку α. Знак α не показывает четверть исходного угла, поэтому такой способ даёт неверный результат. Нарисуйте положение угла или определите четверть и знак исходной функции.
Забывают о тангенсе и котангенсе. При смене функции они тоже переходят друг в друга, а не остаются прежними. После выбора строки таблицы проверьте именно столбец tg или ctg.
Не проверяют область определения. После сокращения записи может исчезнуть видимый знаменатель, но исходная функция всё равно могла быть не определена. Для tg проверяйте cos x ≠ 0, а для ctg — sin x ≠ 0.
Перед изучением формул приведения нужны определения sin, cos, tg и ctg, знаки функций в четвертях, а также свойства чётности и периодичности. Эти знания объясняют и смену функции, и появление знака.
Формулы приведения используются при вычислении тригонометрических выражений, преобразовании тождеств и решении уравнений. Они помогают заменить разные углы стандартными, для которых известны значения функций.
Как понять, нужно ли менять функцию на кофункцию?
Если угол имеет вид π/2 ± α или 3π/2 ± α, функция меняется на кофункцию: синус на косинус, а тангенс на котангенс. При углах вида π ± α и 2π ± α функция сохраняется.
Как определить знак формулы приведения?
Определите четверть, в которой находится исходный угол, и вспомните знак исходной функции в этой четверти. Знак α сам по себе на результат не указывает.
Почему в формуле для π/2 − α появляется косинус?
Углы α и π/2 − α дополняют друг друга до π/2, поэтому их синус и косинус связаны как функции углов-комплементов. Отсюда sin(π/2 − α) = cos α.
Как привести угол, если он больше 2π?
Вычтите из угла несколько полных оборотов 2π или, для тангенса и котангенса, несколько периодов π. После этого представьте полученный угол в одном из стандартных видов таблицы.
Нужно ли проверять область определения после преобразования?
Да, особенно если выражение содержит тангенс или котангенс. Преобразование не делает исходное выражение определённым в тех точках, где его знаменатель равен нулю.
§ 11. Формулы приведения
