§ 10. Синус, косинус и тангенс половинного угла

Определения и обозначения

Синус половинного угла — значение sin(α/2), которое вычисляют по формуле sin(α/2) = ±√((1 − cos α)/2). Под корнем стоит неотрицательное число, но сама функция может быть как положительной, так и отрицательной. Поэтому эта формула помогает найти величину синуса, а нужный знак выбирают отдельно по положению α/2.

Косинус половинного угла — значение cos(α/2), выражаемое через косинус полного угла: cos(α/2) = ±√((1 + cos α)/2). Как и для синуса, корень даёт модуль значения, а знак зависит от четверти угла α/2. Формула полезна, когда известен cos α, но требуется определить косинус половинного угла.

Тангенс половинного угла — значение tg(α/2), которое можно найти как sin α/(1 + cos α) или как (1 − cos α)/sin α. Каждая дробь верна лишь тогда, когда её знаменатель не равен нулю. Две записи позволяют выбрать ту, для которой известные значения удобнее подставить и знаменатель не обращается в ноль.

Формулы половинного угла — равенства, связывающие sin(α/2), cos(α/2) и tg(α/2) со значениями функций угла α. К ним относят формулы для квадратов синуса и косинуса, формулы с квадратным корнем и выражения для тангенса. Они нужны, чтобы переходить от угла α к углу вдвое меньшей величины без поиска самого угла.

Как это устроено

Начнём с формулы двойного угла для косинуса: cos 2x = 1 − 2sin² x. Если положить x = α/2, то 2x = α, поэтому cos α = 1 − 2sin²(α/2). Перенесём слагаемые: 2sin²(α/2) = 1 − cos α, откуда sin²(α/2) = (1 − cos α)/2. Другая форма той же формулы двойного угла, cos 2x = 2cos² x − 1, даёт cos²(α/2) = (1 + cos α)/2.

Чтобы получить сами синус и косинус, нужно извлечь корень из равенств для квадратов. Но квадрат числа одинаков для положительного и отрицательного значения: например, из x² = ¼ следует x = ½ или x = −½. Поэтому в формулах появляется знак ±, и один знак нельзя автоматически считать подходящим. Его определяют по четверти, где находится α/2, используя знаки функций на единичной окружности.

Для тангенса воспользуемся формулами sin α = 2sin(α/2)cos(α/2) и 1 + cos α = 2cos²(α/2). Если 1 + cos α ≠ 0, поделим первое равенство на второе: sin α/(1 + cos α) = tg(α/2). Деление допустимо именно при ненулевом знаменателе; иначе исходное преобразование не определено. Так получается первая дробная запись тангенса, в которой нет отдельного знака ±.

Вторую запись можно получить, умножив дробь sin α/(1 + cos α) на (1 − cos α)/(1 − cos α). В числителе появится sin α(1 − cos α), а в знаменателе — 1 − cos² α. По тождеству 1 − cos² α = sin² α, поэтому после сокращения на sin α получается (1 − cos α)/sin α. Это преобразование требует sin α ≠ 0: если синус равен нулю, сокращать на него нельзя и вторая дробь не определена.

При вычислении сначала посмотрите, что именно известно: cos α или обе функции sin α и cos α. Для корневых формул выясните четверть α/2, а затем выберите знак; для тангенса сравните знаменатели двух дробей. Если выбранный знаменатель равен нулю, это выражение использовать нельзя, хотя другая запись может оставаться пригодной. Наконец проверьте область определения самой функции tg(α/2), чтобы вычисление не приписало ей значение там, где тангенс не существует.

Формулы синуса, косинуса и тангенса половинного угла

Сначала найдите строку с нужной функцией, затем выберите формулу, для которой известны исходные значения. Перед подстановкой проверьте четверть α/2 для корневых выражений и ненулевое значение знаменателя для дробей. Формулу с квадратным корнем для тангенса применяйте только при допустимости выражения и с правильным знаком.

Разбор задач

Задача 1

Найти sin(α/2), если cos α = 1/2 и 0 < α < π. Интервал для α показывает, что угол лежит в первой или второй четверти, но для выбора знака важен уже половинный угол. Разделив двойное неравенство на 2, получаем 0 < α/2 < π/2, то есть α/2 находится в первой четверти.

1. Запишем формулу: sin(α/2) = ±√((1 − cos α)/2).
2. Подставим cos α = 1/2: под корнем получаем (1 − 1/2)/2 = 1/4.
3. Корень равен 1/2. В первой четверти синус положителен, поэтому выбираем знак «плюс».

Ответ: sin(α/2) = 1/2.

Задача 2

Найти cos(α/2), если cos α = −3/5 и π < α < 2π. По этому условию α находится в третьей или четвёртой четверти, поэтому нужно учесть диапазон половинного угла, а не просто взять положительный корень. Деление границ на 2 даёт π/2 < α/2 < π, то есть α/2 лежит во второй четверти.

1. Используем cos(α/2) = ±√((1 + cos α)/2).
2. Подставим значение: (1 + (−3/5))/2 = (2/5)/2 = 1/5.
3. Получаем корень √5/5. Во второй четверти косинус отрицателен, следовательно, перед корнем ставим минус.

Ответ: cos(α/2) = −√5/5.

Задача 3

Найти tg(α/2), если sin α = 4/5 и cos α = 3/5, а затем объяснить, почему можно использовать обе дробные формулы. Значения дают положительный синус и косинус, значит, α находится в первой четверти и α/2 тоже в первой. Проверим оба знаменателя: 1 + cos α = 8/5 ≠ 0 и sin α = 4/5 ≠ 0.

1. По первой формуле получаем sin α/(1 + cos α) = (4/5)/(8/5) = 1/2.
2. По второй формуле получаем (1 − cos α)/sin α = (1 − 3/5)/(4/5) = (2/5)/(4/5) = 1/2.
3. Результаты совпали, потому что дроби являются равными выражениями для tg(α/2) при ненулевых знаменателях. Оба знаменателя в этой задаче ненулевые, поэтому обе записи применимы.

Ответ: tg(α/2) = 1/2; использовать можно обе формулы.

Типичные ошибки

Первая ошибка — автоматически выбирать положительный корень для синуса или косинуса. Так поступают, потому что квадратный корень обычно записывают как неотрицательное число, но знак самой функции этим не задаётся. Найдите четверть α/2 и проверьте по ней знак функции; например, во второй четверти косинус отрицателен.

Вторая ошибка — менять местами выражения 1 − cos α и 1 + cos α. Это происходит, когда формулы запоминают как похожие строки, не связывая их с исходными равенствами двойного угла. Проверка проста: для sin²(α/2) стоит разность 1 − cos α, а для cos²(α/2) — сумма 1 + cos α.

Третья ошибка — считать, что обе дроби для tg(α/2) работают при любом α. В первой дроби знаменатель 1 + cos α может обнулиться, во второй — sin α, поэтому формально одинаковые ответы не гарантируют допустимость каждой записи. Перед вычислением отдельно подставьте данные в знаменатель; если он равен нулю, выберите другую формулу, если она определена.

Четвёртая ошибка — преобразовывать дроби или сокращать их, не проверив допустимые значения. Например, сокращение на sin α исключает случай sin α = 0, даже если исходное равенство рассматривало его отдельно. Чтобы проверить себя, отмечайте условие, при котором делите или сокращаете, и в конце сравнивайте его с областью определения исходного выражения.

Связь с другими темами

Для вывода формул половинного угла нужны формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество sin² α + cos² α = 1. Знание знаков синуса и косинуса по четвертям помогает выбрать знак корня: без этого известен только квадрат искомого значения. Значит, тема соединяет преобразование формул с геометрическим представлением углов на единичной окружности.

В дальнейшем формулы половинного угла пригодятся для упрощения тригонометрических выражений, нахождения точных значений и решения тригонометрических уравнений. Они позволяют заменить функцию от α/2 выражением через функции α, что иногда делает вычисления короче. При этом проверка знака и области определения остаётся частью решения, а не формальной мелочью.

Что запомнить

• sin²(α/2) = (1 − cos α)/2.
• cos²(α/2) = (1 + cos α)/2.
• Знак перед корнем выбирают по четверти угла α/2.
• tg(α/2) = sin α/(1 + cos α), если 1 + cos α ≠ 0.
• tg(α/2) = (1 − cos α)/sin α, если sin α ≠ 0.
• При выборе формулы тангенса проверяй, не обращается ли её знаменатель в ноль.