§ 30*. Синус, косинус и тангенс половинного угла

Определения и обозначения

Половинный угол — это угол α/2, а формулы половинного угла выражают тригонометрические функции этого угла через функции α. Например, в записи sin(α/2) аргументом синуса служит половина угла α. Такие формулы нужны, когда известны значения функций угла α, а требуется найти функции угла вдвое меньше.

Формула синуса половинного угла связывает sin(α/2) с cos α: sin(α/2) = ±√((1 − cos α)/2). Знак перед корнем зависит от четверти, в которой находится α/2. Формула позволяет вычислить синус половинного угла, но сначала нужно определить его знак.

Формула косинуса половинного угла связывает cos(α/2) с cos α: cos(α/2) = ±√((1 + cos α)/2). Здесь знак также зависит от четверти самого угла α/2. Эта запись удобна для вычисления косинуса, если известен косинус полного угла.

Формула тангенса половинного угла выражает tg(α/2) через sin α и cos α: например, tg(α/2) = sin α/(1 + cos α). Её также можно записать как tg(α/2) = (1 − cos α)/sin α при допустимом знаменателе. Эти равные по значению записи полезны в разных задачах, но для каждой необходимо проверить область определения.

Как это устроено

Для синуса используют равенство cos 2x = 1 − 2sin²x. Подстановка x = α/2 превращает левую часть в cos α, потому что 2 · α/2 = α. Перенос слагаемых и деление на 2 дают sin²(α/2) = (1 − cos α)/2. Извлечение корня даёт два знака, поскольку и положительное, и отрицательное числа при возведении в квадрат могут дать один результат; выбрать нужный помогает четверть α/2.

Для косинуса берут другое выражение двойного угла: cos 2x = 2cos²x − 1. После подстановки x = α/2 получают cos α = 2cos²(α/2) − 1. Выражая квадрат косинуса, приходят к cos²(α/2) = (1 + cos α)/2, а извлечение корня снова даёт две ветви. Поскольку косинус положителен в I и IV четвертях, а отрицателен во II и III, знак выбирают по положению α/2.

Чтобы получить формулы тангенса, делят sin(α/2) на cos(α/2). Удобно сначала воспользоваться тождеством sin α = 2sin(α/2)cos(α/2), а для знаменателя — равенством 1 + cos α = 2cos²(α/2). После сокращения получается tg(α/2) = sin α/(1 + cos α); аналогичное преобразование с 1 − cos α даёт tg(α/2) = (1 − cos α)/sin α. Первую дробь нельзя использовать при 1 + cos α = 0, а вторую — при sin α = 0.

Иногда тангенс половинного угла записывают через tg α. Из тождества 1 + tg²α = 1/cos²α следует, что √(1 + tg²α) = 1/|cos α|, поэтому знак cos α влияет на преобразование. При cos α > 0 формула принимает вид tg(α/2) = tg α/(1 + √(1 + tg²α)); при cos α < 0 вместо плюса в знаменателе возникает минус. Значит, одной величины tg α недостаточно, чтобы без дополнительных сведений выбрать нужную запись.

Формулы половинного угла помогают вычислять точные значения, когда известен удобный угол, например 30° или 5π/4. Они также позволяют преобразовать выражение с функциями α в выражение с функциями α/2. Причина их полезности в том, что формулы двойного угла связывают два масштаба угла, а преобразование можно читать и в обратную сторону. Перед вычислением нужно установить четверть половинного угла и проверить ограничения.

Формулы половинного угла и условия выбора знака

Сначала найдите нужную строку и подставьте известное значение cos α либо значения sin α и cos α. Для корневых формул отдельно определите четверть α/2: знак под корнем не указывает, какой знак поставить перед самим корнем. Для тангенса проверьте знаменатель той дроби, которой собираетесь пользоваться.

Разбор задач

Найдите sin 15°, если известно, что 15° = 30°/2.

1. Сравним угол с формулой половинного угла: здесь α = 30°, поэтому нужно найти cos 30°.
2. Подставим cos 30° = √3/2: sin 15° = ±√((1 − √3/2)/2) = ±√((2 − √3)/4).
3. Угол 15° лежит в первой четверти, где синус положителен, поэтому выбираем знак плюс. Тогда sin 15° = √(2 − √3)/2.

Ответ: sin 15° = √(2 − √3)/2.

Найдите cos(5π/8), используя формулу половинного угла.

1. Представим аргумент как половину: 5π/8 = (5π/4)/2, значит α = 5π/4. По формуле косинуса половинного угла потребуется cos(5π/4).
2. Угол 5π/4 находится в третьей четверти, поэтому cos(5π/4) = −√2/2. Подставим: cos(5π/8) = ±√((1 − √2/2)/2) = ±√((2 − √2)/4).
3. Угол 5π/8 расположен во второй четверти, где косинус отрицателен. Поэтому перед корнем ставим минус и получаем cos(5π/8) = −√(2 − √2)/2.

Ответ: cos(5π/8) = −√(2 − √2)/2.

Упростите выражение (1 − cos α)/sin α и укажите, при каких α преобразование допустимо.

1. Сопоставим выражение с формулой tg(α/2) = (1 − cos α)/sin α. Значит, дробь равна тангенсу половинного угла, если исходная дробь определена.
2. В исходном выражении знаменатель sin α должен быть ненулевым. Это условие выполняется при α ≠ πk, где k ∈ Z.
3. При таких α равенство допустимо: выражение упрощается до tg(α/2). Значения α = πk исключаем, поскольку исходная дробь на них не определена.

Ответ: tg(α/2), при α ≠ πk, k ∈ Z.

Типичные ошибки

Первая ошибка — выбирать знак корня по знаку sin α или cos α, не выяснив четверть α/2. Так поступают, потому что в формуле уже стоит функция угла α, но нужный знак относится к другой величине. Проверьте результат: определите положение именно половинного угла и вспомните знаки функций в этой четверти.

Вторая ошибка — записывать sin(α/2) = (1 − cos α)/2 или cos(α/2) = (1 + cos α)/2. Это выражения для квадратов функций, поэтому при переходе к самой функции нужно извлечь корень и выбрать знак. Для проверки возведите полученную формулу в квадрат: она должна совпасть с равенством для sin²(α/2) или cos²(α/2).

Третья ошибка — считать две дроби для тангенса взаимозаменяемыми при любых α. Их преобразование требует ненулевого знаменателя, а исходная запись может быть определена не везде, где существует другая. Перед сокращением выпишите знаменатель и проверьте его; затем отдельно проверьте область определения исходного выражения.

Четвёртая ошибка — смешивать cos(α/2) и cos α/2. В первом случае половина угла является аргументом функции, а во втором делится пополам уже значение cos α. Путаница возникает из-за пропущенных скобок; чтобы проверить запись, словами прочитайте аргумент: «косинус от половины α» или «половина косинуса α».

Связь с другими темами

Для вывода формул половинного угла нужны формулы двойного угла и знаки тригонометрических функций в четвертях. Также полезно знать точные значения функций для основных углов: они дают исходные значения, которые можно подставлять в формулы. Если четверть α/2 определена неверно, даже правильное вычисление под корнем может привести к ошибочному знаку ответа.

Эти формулы применяют при преобразовании тригонометрических выражений, вычислении точных значений и решении уравнений. Они помогают заменить функции угла α функциями α/2 или, наоборот, связать выражения с разными аргументами. При решении уравнения после преобразования нужно учитывать ограничения исходной записи, чтобы не добавить посторонние значения.

Что запомнить

• sin²(α/2) = (1 − cos α)/2.
• cos²(α/2) = (1 + cos α)/2.
• Знак sin(α/2) и cos(α/2) определяют по четверти угла α/2.
• tg(α/2) = sin α/(1 + cos α), если 1 + cos α ≠ 0.
• tg(α/2) = (1 − cos α)/sin α, если sin α ≠ 0.
• Перед применением формул проверьте область допустимых значений и знаменатели.