"Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни", Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Формулы двойного угла выражают sin 2x, cos 2x и tg 2x через значения тригонометрических функций угла x. Они позволяют вычислять выражения, если известны sin x, cos x или tg x, и упрощать уравнения. Синус двойного угла равен 2 sin x cos x, а косинус можно записать тремя равносильными способами. Для формулы тангенса нужно проверять, что знаменатель не равен нулю и само выражение определено.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус двойного угла — это синус угла 2x, выраженный через синус и косинус угла x: sin 2x = 2 sin x cos x. Здесь 2x означает удвоенный угол, а не удвоенное значение синуса. Формула нужна, чтобы найти синус удвоенного угла по значениям функций от x.
Косинус двойного угла можно записать так: cos 2x = cos² x − sin² x = 2 cos² x − 1 = 1 − 2 sin² x. Все три записи равносильны, то есть дают один результат при любом x. Выбирай ту форму, где известные значения уже стоят в нужном виде.
Тангенс двойного угла выражается формулой tg 2x = 2 tg x / (1 − tg² x), если выражение определено. Значение tg x должно существовать, а знаменатель не должен обращаться в ноль. Эта запись полезна, когда дан тангенс угла x и требуется найти тангенс угла 2x.
Формулу синуса двойного угла получают из формулы сложения sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b. Подставим вместо обоих углов x: sin(x + x) = sin x cos x + cos x sin x. Поскольку x + x = 2x, а два слагаемых одинаковы, их сумма равна 2 sin x cos x. Поэтому множитель cos x нельзя отбросить: без него формула сложения не даст нужного результата.
Для косинуса используем формулу сложения cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b. При a = b = x получаем cos 2x = cos² x − sin² x. Чтобы получить формы с одним квадратом, применяем sin² x + cos² x = 1: заменяем sin² x на 1 − cos² x или cos² x на 1 − sin² x. Так возникают равенства cos 2x = 2 cos² x − 1 и cos 2x = 1 − 2 sin² x. Если в условии дан синус, последняя форма позволяет обойтись без поиска косинуса; если дан косинус — удобна предпоследняя.
Тангенс — это отношение синуса к косинусу: tg 2x = sin 2x / cos 2x, когда cos 2x ≠ 0. Подставим формулы двойного угла и разделим числитель и знаменатель на cos² x: получим 2 tg x / (1 − tg² x). Деление допустимо, только если cos x ≠ 0 и cos 2x ≠ 0; в записи через tg x это означает, что tg x определён и 1 − tg² x ≠ 0. Поэтому формула неприменима при tg x = ±1 и при x = π/2 + πk.
Формулы помогают находить функции удвоенного угла, когда известны значения функций угла x. Сначала выбери выражение, в котором можно подставить данные напрямую; если нужно, недостающее значение найди из основного тождества и учти знак по условию. Например, при известном синусе косинус двойного угла можно вычислить без нахождения cos x. Такой выбор часто сокращает вычисления и уменьшает риск ошибиться со знаком.
При преобразовании выражений заменяй части вида sin 2x, cos 2x или tg 2x подходящей формулой, а при решении уравнений выбирай запись, которая упрощает неизвестное. Но преобразования с делением могут исключить отдельные значения, поэтому отмечай ограничения исходного выражения до решения. После нахождения корней подставь их в исходное уравнение или проверь, что ни один знаменатель не равен нулю. Так отсекаются посторонние значения, возникшие из-за неравносильного преобразования.
| Функция | Формула через sin x и cos x | Формула через tg x | Условия применимости |
|---|---|---|---|
| Синус двойного угла | sin 2x = 2 sin x cos x | Не требуется | Определена при любом x |
| Косинус двойного угла | cos 2x = cos² x − sin² x | Не требуется | Определена при любом x |
| Тангенс двойного угла | tg 2x = sin 2x / cos 2x | tg 2x = 2 tg x / (1 − tg² x) | В формуле через tg x: tg x определён и tg x ≠ ±1 |
В строке косинуса также можно использовать равные формы 2 cos² x − 1 и 1 − 2 sin² x. Выбирай формулу по тому, какие данные есть в условии и какие выражения нужно упростить. Для тангенса проверяй условия применимости до подстановки чисел.
Задача 1. Найти sin 2x и cos 2x, если sin x = 3/5 и x острый. Сначала требуется найти недостающий cos x: основное тождество даст его квадрат, а условие об остром угле определит знак. Затем подставим оба значения в формулы двойного угла.
Ответ: sin 2x = 24/25, cos 2x = 7/25. Условие об остром угле важно: без него по значению cos² x нельзя было бы определить знак cos x, а значит, и знак sin 2x.
Задача 2. Преобразовать выражение 1 − 2 sin² x и вычислить его при x = π/6. В выражении видна форма косинуса двойного угла через синус, поэтому сначала заменим его целиком, а затем удвоим аргумент.
Ответ: выражение преобразуется в cos 2x, его значение при x = π/6 равно 1/2. Распознавание формулы избавляет от отдельного вычисления квадрата синуса и делает смысл выражения заметнее.
Задача 3. Решить уравнение tg 2x = 1 на промежутке [0; 2π). Тангенс равен единице при аргументе π/4 + πk, где k — целое число; период тангенса равен π. После этого выразим x и оставим только корни заданного промежутка.
Ответ: π/8, 5π/8, 9π/8, 13π/8. Отбор по промежутку обязателен: общая формула содержит бесконечно много корней, а в ответ входят только попадающие в заданные границы.
Ошибка: записывать sin 2x = 2 sin x. Так теряется cos x, потому что формула получается сложением двух слагаемых sin x cos x. Её допускают, принимая множитель 2 за единственное изменение при удвоении угла. Проверка: выведи равенство из формулы сложения или подставь, например, x = π/2 — ошибочная запись даст 2, хотя синус не может быть больше 1.
Ошибка: считать, что cos 2x = cos² x − 1. Это не равносильная форма: верная запись через квадрат косинуса — 2 cos² x − 1. Путаница возникает при попытке заменить sin² x по основному тождеству и пропуске одного слагаемого. Проверь преобразование: cos² x − (1 − cos² x) раскрывается как 2 cos² x − 1.
Ошибка: применять формулу tg 2x через tg x при tg x = ±1. Тогда знаменатель 1 − tg² x равен нулю, и правая часть не определена. Такие значения могут показаться допустимыми, если смотреть только на числитель; проверяй знаменатель перед делением. При tg x = ±1 тангенс угла 2x также не определён.
Ошибка: делить sin 2x на cos 2x, не проверив, что cos 2x ≠ 0. Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу только при ненулевом знаменателе. Деление на ноль не является допустимым преобразованием, даже если формулы синуса и косинуса записаны верно. До применения отношения отметь значения, при которых косинус двойного угла равен нулю.
Для вывода формул двойного угла нужны формулы сложения синуса и косинуса, основное тождество sin² x + cos² x = 1 и определение тангенса как отношения синуса к косинусу. Поэтому уверенное владение этими темами помогает понять не только сами равенства, но и ограничения при делении. В дальнейшем формулы двойного угла используют для преобразования тригонометрических выражений, вычисления значений и решения тригонометрических уравнений. Особенно полезно узнавать нужную форму косинуса по данным задачи.
Почему в формуле sin 2x появляется множитель cos x?
Формула сложения даёт sin(x + x) = sin x cos x + cos x sin x. Оба слагаемых одинаковы, поэтому их сумма равна 2 sin x cos x.
Как получить формулы cos 2x через один квадрат?
Начинаем с cos 2x = cos² x − sin² x и используем sin² x + cos² x = 1. Подставляя sin² x = 1 − cos² x или cos² x = 1 − sin² x, получаем cos 2x = 2 cos² x − 1 и cos 2x = 1 − 2 sin² x.
Какую форму cos 2x выбрать, если известен только sin x?
Удобно использовать cos 2x = 1 − 2 sin² x: в ней сразу подставляется известный синус. Тогда не нужно отдельно находить cos x и выбирать его знак.
При каких x нельзя применять формулу tg 2x через tg x?
Нельзя применять её, если tg x не определён или 1 − tg² x = 0. Это происходит при x = π/2 + πk и при tg x = ±1, где k ∈ Z.
Как использовать формулу двойного угла при решении уравнений?
Формулы позволяют заменить выражение с аргументом 2x выражением через функции от x или, наоборот, упростить уравнение. После преобразований решают полученное уравнение и проверяют, что найденные значения не нарушают область определения исходного.
§ 29. Синус, косинус и тангенс двойного угла
