"Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни", Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Формулы сложения выражают синус, косинус и тангенс суммы или разности углов через значения функций каждого угла. Они позволяют находить точные значения тригонометрических функций для углов, которых нет в таблице, и упрощать выражения. Главное — не перепутать знаки: у синуса знак сохраняется, у косинуса меняется на противоположный, а для тангенса важно проверить знаменатель.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формулы сложения — это равенства, которые выражают значения тригонометрических функций суммы или разности двух углов через значения функций этих углов. Например, sin(α + β) позволяет найти синус суммы, зная синусы и косинусы α и β. Такие равенства нужны, чтобы переходить от сложного аргумента к более простым углам.
Синус суммы и разности выражается так: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β; sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β. Здесь α и β — углы, а знаки слагаемых зависят от того, складываем мы углы или вычитаем. Формулы полезны, когда значение синуса незнакомого угла можно связать со значениями для известных углов.
Косинус суммы и разности задаётся равенствами cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β и cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. В отличие от формул синуса, знак между произведениями здесь противоположен знаку между углами. Это правило помогает вычислять косинусы новых углов и проверять преобразования.
Тангенс суммы или разности можно выразить через тангенсы отдельных углов: tg(α + β) = (tg α + tg β)/(1 − tg α tg β), tg(α − β) = (tg α − tg β)/(1 + tg α tg β). Запись допустима, только если тангенсы углов определены и знаменатель дроби не равен нулю. Это позволяет преобразовать выражение с тангенсами, не вычисляя отдельно синус и косинус результата.
Формулы связывают значение функции от целого выражения α ± β со значениями функций от α и β по отдельности. Поэтому сумма углов не требует отдельного табличного значения: достаточно разложить её на удобные части. Например, угол 75° можно представить как 45° + 30°, для которых известны значения синуса и косинуса.
Знаки в формулах синуса легко запомнить по тому, что знак между углами сохраняется: сумма даёт плюс между произведениями, разность — минус. В формулах косинуса знак меняется на противоположный: у суммы появляется минус, а у разности плюс. Это не случайное соглашение: знаки следуют из свойств синуса и косинуса, а их запоминание не позволяет механически переносить правило синуса на косинус.
Формулу тангенса суммы получают делением sin(α + β) на cos(α + β). В числителе подставляют формулу синуса суммы, а в знаменателе — формулу косинуса суммы, после чего делят числитель и знаменатель на cos α cos β. Так возникают tg α и tg β, а знаменатель принимает вид 1 − tg α tg β. Для разности углов получается 1 + tg α tg β; деление возможно лишь при ненулевых знаменателях, поэтому нужно проверить, что тангенсы исходных углов существуют и знаменатель итоговой дроби не равен нулю.
Чтобы найти точное значение функции угла, которого нет в таблице, сначала представляют угол как сумму или разность знакомых углов. Затем выбирают формулу с нужной функцией и нужным знаком между углами. После подстановки табличных значений вычисления сводятся к действиям с числами и радикалами, а результат можно упростить.
Формулы применяют и для преобразования выражений: сложную функцию заменяют произведениями функций простых углов или, наоборот, узнают в выражении готовую формулу. Такое преобразование может сократить выражение и сделать его удобным для дальнейшего решения. При этом полезно проверять не только знаки, но и то, что все использованные выражения определены.
| Функция | Сумма углов | Разность углов |
|---|---|---|
| Синус | sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β | sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β |
| Косинус | cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β | cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β |
| Тангенс | tg(α + β) = (tg α + tg β)/(1 − tg α tg β) | tg(α − β) = (tg α − tg β)/(1 + tg α tg β) |
Сначала найдите в таблице нужную функцию, затем выберите столбец по знаку между углами. Перед применением формулы тангенса проверьте, что входящие в неё тангенсы определены, а знаменатель не равен нулю. Для синуса и косинуса отдельно следите за правилом знаков: у косинуса знак противоположен знаку суммы или разности.
Найдём sin 75°, представив угол как сумму 45° и 30°. Такой выбор удобен, потому что синусы и косинусы обоих углов известны. Применим формулу синуса суммы.
Ответ: sin 75° = (√6 + √2)/4. Важно сначала установить, что аргумент — сумма, и только затем подставлять формулу. Если поменять знак перед одним из произведений, получится неверный результат.
Теперь найдём cos 15°, записав 15° как разность 45° и 30°. В этом случае нужна формула косинуса разности, в которой между произведениями стоит плюс. Значения функций знакомых углов уже известны.
Ответ: cos 15° = (√6 + √2)/4. Здесь особенно важно не поставить минус: у косинуса разности используется плюс между произведениями. Проверка знака по формуле до подстановки помогает избежать ошибки.
Упростим выражение (tg α + tg β)/(1 − tg α tg β) и выясним, когда оно равно tg(α + β). Вид дроби совпадает с правой частью формулы тангенса суммы, но одного совпадения записи недостаточно: нужно проверить, что обе части определены. Особенно важно проверить знаменатель.
Ответ: выражение равно tg(α + β), если cos α ≠ 0, cos β ≠ 0 и 1 − tg α tg β ≠ 0. При этих условиях равенство непосредственно следует из формулы тангенса суммы. Если знаменатель равен нулю, применять формулу в таком виде нельзя.
В формуле косинуса суммы иногда ставят плюс между произведениями, перенося знак из формулы синуса суммы. Ошибку провоцирует одинаковое начало обеих формул, но правило для косинуса другое: у суммы стоит минус. Проверяйте знак по записи cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β до подстановки чисел.
В формуле синуса разности можно ошибочно поставить плюс перед cos α sin β, хотя знак должен быть минус. Это происходит, когда знак из формулы суммы переносят на разность, не учитывая, что у синуса знак сохраняется. Для самопроверки сопоставьте знак между углами со знаком между произведениями.
В формуле тангенса суммы иногда используют в знаменателе плюс вместо минуса. Обычно знак путают со знаменателем формулы тангенса разности, где действительно стоит плюс. Сверьте оба случая отдельно: для суммы знаменатель 1 − tg α tg β, для разности — 1 + tg α tg β.
Формулу тангенса применяют, не проверив, определены ли входящие тангенсы и не равен ли нулю знаменатель дроби. В этом случае в вычислениях могут появиться недопустимые значения или деление на ноль. Перед использованием формулы проверьте cos α ≠ 0, cos β ≠ 0 и ненулевой знаменатель соответствующей дроби.
Для работы с формулами нужны определения синуса, косинуса и тангенса, а также табличные значения этих функций для основных углов. Формула тангенса связана с равенством tg α = sin α/cos α, а преобразования тригонометрических выражений опираются, в частности, на тождество sin² α + cos² α = 1. Сами формулы сложения затем используют при доказательстве тождеств и решении уравнений, когда аргументы функций можно представить как сумму или разность углов.
Как не перепутать знаки в формулах синуса и косинуса?
У синуса знак в формуле повторяет знак между углами: у суммы плюс, у разности минус. У косинуса правило обратное: у суммы минус, у разности плюс. Полезно отдельно запомнить пару формул для косинуса.
Почему в формуле косинуса суммы стоит знак минус?
Этот знак следует из свойств тригонометрических функций и формулы для косинуса разности. Например, cos(α + β) = cos(α − (−β)); при этом cos(−β) = cos β, а sin(−β) = −sin β, поэтому перед произведением синусов появляется минус.
Как вычислить синус или косинус угла, который не входит в таблицу значений?
Представьте угол как сумму или разность двух углов, значения функций которых известны. Затем примените подходящую формулу сложения и подставьте табличные значения. Например, 75° удобно представить как 45° + 30°.
При каких условиях можно применять формулу тангенса суммы?
Тангенсы α и β должны быть определены, то есть cos α и cos β не должны равняться нулю. Кроме того, знаменатель 1 − tg α tg β должен быть ненулевым. Тогда определён и tg(α + β), и формула тангенса суммы применима.
Как понять, какую формулу сложения выбрать для преобразования выражения?
Сначала определите, какая функция стоит в выражении: синус, косинус или тангенс. Затем сопоставьте аргумент с суммой или разностью углов и выберите соответствующую формулу. Для тангенса дополнительно проверьте область допустимых значений.
§ 28. Формулы сложения
