"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Формулы сложения выражают синус, косинус и тангенс суммы или разности двух углов через значения функций для каждого угла отдельно. Они нужны, чтобы вычислять точные значения нестандартных углов, раскрывать тригонометрические выражения и доказывать тождества. Главные правила различаются знаками: у синуса знак сохраняется, у косинуса меняется, а для тангенса появляется дробь с особым знаменателем.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формулы сложения — это равенства, которые выражают синус, косинус и тангенс суммы или разности двух углов через значения этих функций для отдельных углов. Например, sin(α + β) можно найти, не вычисляя сначала сам угол α + β. Такие формулы связывают уже известные значения и позволяют работать с нестандартными углами.
Формула синуса суммы и разности задаёт правила для sin(α + β) и sin(α − β): sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, а при разности между слагаемыми появляется минус. Она нужна, когда угол удобно представить как сумму или разность двух известных углов. Буквы α и β обозначают произвольные углы.
Формула косинуса суммы и разности имеет другой порядок знаков: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β, а cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. При переходе от суммы к разности знак перед произведением синусов меняется. Это правило помогает не смешивать формулы синуса и косинуса.
Формула тангенса суммы и разности выражает тангенс через тангенсы отдельных углов: tg(α + β) = (tg α + tg β)/(1 − tg α tg β), tg(α − β) = (tg α − tg β)/(1 + tg α tg β). Она используется только тогда, когда тангенсы определены и знаменатель не равен нулю. Поэтому перед вычислением нужно проверить область допустимых значений.
Формулу косинуса суммы можно понять на единичной окружности, где координаты точки, соответствующей углу, равны (cos α, sin α). Поворот этой точки ещё на угол β даёт точку с углом α + β, а её первая координата равна cos(α + β). При вычислении первой координаты после поворота перемножаются соответствующие координаты, поэтому получается cos α cos β − sin α sin β.
Знаки и произведения возникают не случайно: при повороте меняются обе координаты, а горизонтальная координата нового радиус-вектора складывается из двух вкладов. Один вклад равен cos α cos β, второй — sin α sin β и направлен с противоположным знаком. Так геометрия единичной окружности объясняет формулу cos(α + β), а углы α и β показывают последовательные повороты.
Синус суммы можно получить из уже установленной формулы косинуса, используя sin x = cos(π/2 − x). Подставим x = α + β и преобразуем разность π/2 − α − β как (π/2 − α) + (−β), после чего применим формулу косинуса суммы. Изменение знака у синуса отрицательного угла приводит к sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β.
Формулу тангенса суммы получают делением формулы синуса суммы на формулу косинуса суммы, потому что tg x = sin x/cos x. После вынесения общего множителя в числителе и знаменателе получается дробь (tg α + tg β)/(1 − tg α tg β). Деление допустимо только при определённых тангенсах и ненулевом косинусе суммы, что в преобразованной записи отражается условием 1 − tg α tg β ≠ 0.
Формулы для разности следуют из формул суммы, если заменить β на −β. Косинус не меняется при смене знака аргумента, cos(−β) = cos β, а синус меняет знак: sin(−β) = −sin β. Поэтому в формуле синуса меняется знак между слагаемыми, в формуле косинуса знак перед произведением синусов становится плюсом, а для тангенса меняется знак в числителе и знаменателе.
Эта таблица служит краткой памяткой: сначала определите, какую функцию и какой знак между углами нужно преобразовать. Для синуса и косинуса формулы верны при любых α и β. Для тангенса обязательно проверьте существование исходных тангенсов и ненулевой знаменатель.
| Выражение | Формула | Условия |
|---|---|---|
| sin(α + β) | sin α cos β + cos α sin β | Для любых α и β |
| sin(α − β) | sin α cos β − cos α sin β | Для любых α и β |
| cos(α + β) | cos α cos β − sin α sin β | Для любых α и β |
| cos(α − β) | cos α cos β + sin α sin β | Для любых α и β |
| tg(α + β) | (tg α + tg β)/(1 − tg α tg β) | Тангенсы определены; 1 − tg α tg β ≠ 0 |
| tg(α − β) | (tg α − tg β)/(1 + tg α tg β) | Тангенсы определены; 1 + tg α tg β ≠ 0 |
Представим 75° как 45° + 30°, потому что значения функций для этих углов известны. Используем формулу синуса суммы и подставим табличные значения. Такой выбор превращает один нестандартный угол в два удобных.
Ответ: sin 75° = (√6 + √2)/4.
Угол 15° удобно представить как 45° − 30°. Для косинуса применяем формулу разности, а для тангенса — отдельную формулу тангенса разности. Оба раза используем значения функций углов 45° и 30°.
Ответ: cos 15° = (√6 + √2)/4, tg 15° = 2 − √3.
Рассмотрим выражение sin(x + y)cos y − cos(x + y)sin y. Оно имеет вид правой части формулы синуса разности, если первым углом считать x + y, а вторым — y. Для тангенса аналогичное преобразование возможно только при выполнении условий существования.
Ответ: исходное выражение равно sin x; формулу тангенса можно применять только после проверки указанных условий.
Ошибка: менять знаки в формулах синуса и косинуса одинаково. Так происходит, потому что обе формулы состоят из похожих произведений, но проверка по таблице показывает: у синуса суммы плюс, а у косинуса суммы минус. Сверяйте функцию перед подстановкой.
Ошибка: писать минус перед произведением синусов в cos(α − β). Знак должен быть плюсом, поскольку косинус чётный, а синус нечётный. Для самопроверки замените β на −β в формуле суммы.
Ошибка: применять формулу тангенса без проверки знаменателя. Ученик может получить деление на ноль или использовать тангенс угла, где он не определён. Сначала проверьте оба тангенса, затем условие 1 − tg α tg β ≠ 0 или 1 + tg α tg β ≠ 0.
Ошибка: смешивать градусы и радианы. Например, запись 30 может означать 30° или 30 радиан, а это разные углы. Всегда сохраняйте обозначение ° либо переводите все углы в одну систему измерения.
Для работы с формулами сложения нужны табличные значения синуса, косинуса и тангенса стандартных углов. Также используются чётность косинуса и нечётность синуса.
На основе формул сложения выводятся формулы двойного угла и преобразуются более сложные тригонометрические выражения. Эти же правила помогают доказывать тождества и решать тригонометрические уравнения.
Как запомнить знаки в формулах синуса и косинуса суммы?
У синуса суммы знак между слагаемыми такой же, как между углами: sin(α + β) содержит плюс. У косинуса суммы перед произведением синусов стоит минус: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β.
Почему при косинусе разности перед произведением синусов стоит плюс?
Разность можно записать как сумму с отрицательным углом: α − β = α + (−β). Косинус чётный, а синус нечётный, поэтому sin(−β) меняет знак, и минус в формуле суммы превращается в плюс.
Как получить формулы разности из формул суммы?
В формулах суммы заменяют β на −β. Затем используют cos(−β) = cos β и sin(−β) = −sin β, после чего получают правила для α − β.
Когда нельзя применять формулу тангенса суммы?
Нельзя применять её, если хотя бы один из тангенсов не определён. Также знаменатель 1 − tg α tg β должен быть отличен от нуля, иначе полученная дробь не имеет смысла.
Как выбрать удобное разложение угла при точных вычислениях?
Представьте угол как сумму или разность табличных углов: 30°, 45°, 60°, 90° и других известных значений. Выбирайте разложение, при котором синусы, косинусы и тангенсы обоих углов легко найти.
§ 8. Формулы сложения
