"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)", Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Формулы сложения выражают синус, косинус и другие тригонометрические функции суммы или разности углов через функции каждого угла. С их помощью можно вычислять значения, для которых нет готовой таблицы, упрощать выражения и получать формулы двойного угла. Главное — точно различать знаки: у синуса суммы стоит плюс, а у косинуса суммы — минус; для тангенса нужно дополнительно проверять знаменатель.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формулы сложения — равенства, которые выражают значения тригонометрических функций суммы или разности двух углов через функции этих углов. Например, они позволяют заменить sin(a + b) выражением с sin a, cos a, sin b и cos b. Это нужно, когда значение сложной функции напрямую найти трудно, а значения для отдельных углов известны.
Синус суммы и разности задаётся равенствами sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b и sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b. В каждом случае получаются два произведения, а знак между ними зависит от того, складываются углы или вычитаются. Эти формулы особенно удобны для вычисления синуса угла, который можно представить как сумму или разность известных углов.
Косинус суммы и разности задаётся равенствами cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b и cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b. В формуле суммы между произведениями стоит минус, а в формуле разности — плюс. С помощью этих равенств находят косинусы новых углов и преобразуют тригонометрические выражения.
Тангенс суммы и разности выражается через тангенсы углов: tg(a + b) = (tg a + tg b)/(1 − tg a tg b), tg(a − b) = (tg a − tg b)/(1 + tg a tg b). Эти формулы применяют, когда тангенсы отдельных углов существуют и знаменатель полученной дроби не равен нулю. Проверка знаменателя нужна, чтобы не выполнить деление на ноль и не получить выражение для несуществующего значения.
Формулы синуса и косинуса суммы можно обосновать через координаты точки на единичной окружности. Точка, соответствующая углу b, имеет координаты (cos b, sin b), а поворот этой точки на угол a задаёт положение для угла a + b. При повороте координаты преобразуются: новая горизонтальная координата равна cos a cos b − sin a sin b, а вертикальная — sin a cos b + cos a sin b. Поскольку координаты точки для угла a + b равны cos(a + b) и sin(a + b), получаются формулы косинуса и синуса суммы.
Разность можно записать как сумму с отрицательным углом: a − b = a + (−b). Подстановка −b в формулы суммы меняет значения функций предсказуемым образом: косинус чётный, то есть cos(−b) = cos b, а синус нечётный, то есть sin(−b) = −sin b. Поэтому в формуле синуса суммы второе слагаемое меняет знак, а в формуле косинуса суммы знак перед произведением синусов становится плюсом. Так и возникают формулы разности.
Формулы тангенса получают делением формулы синуса на формулу косинуса. Например, дробь sin(a + b)/cos(a + b) после подстановки формул суммы можно разделить на cos a cos b и выразить через tg a и tg b. Так появляется знаменатель 1 − tg a tg b; для разности аналогично получается 1 + tg a tg b. Делить можно лишь при ненулевом знаменателе, а также при определённых тангенсах исходных углов.
Если в формулах сложения положить b = a, угол суммы станет равен 2a. Например, sin(2a) = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin a cos a, а cos(2a) = cos² a − sin² a. Подстановка одинаковых углов превращает общие формулы в формулы двойного угла. Это полезно, когда в задаче встречаются выражения с удвоенным аргументом.
Чтобы выбрать формулу, сначала представьте нужный угол как сумму или разность удобных углов, для которых известны значения синуса и косинуса. Затем сопоставьте знак между углами с нужной строкой формулы и подставьте значения, не меняя порядок слагаемых без причины. Если используется тангенс, отдельно проверьте, что его исходные значения существуют, а знаменатель не равен нулю. После вычислений полезно оценить знак и примерную величину результата.
| Функция | Сумма углов | Разность углов |
|---|---|---|
| Синус | sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b | sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b |
| Косинус | cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b | cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b |
| Тангенс | tg(a + b) = (tg a + tg b)/(1 − tg a tg b) | tg(a − b) = (tg a − tg b)/(1 + tg a tg b) |
| Котангенс | ctg(a + b) = (ctg a ctg b − 1)/(ctg a + ctg b) | ctg(a − b) = (ctg a ctg b + 1)/(ctg b − ctg a) |
Сначала найдите в таблице нужную функцию, затем выберите столбец суммы или разности. Проверьте знаки в самой формуле и подставьте значения функций отдельных углов. Для тангенса и котангенса также убедитесь, что знаменатель не равен нулю.
Задача 1. Найти sin 75°, представив 75° как сумму известных углов. Удобно выбрать 45° и 30°: их тригонометрические значения известны, а сумма равна 75°. Поскольку требуется синус суммы, берём формулу с двумя произведениями и знаком плюс. Подставим табличные значения и упростим результат.
Ответ: (√6 + √2)/4. Сумма двух положительных слагаемых согласуется с тем, что угол 75° лежит в первой четверти, где синус положителен. Представление угла как суммы выбрано так, чтобы использовать только табличные значения.
Задача 2. Вычислить cos 15°, представив угол как разность 45° и 30°. Здесь важно не спутать формулу косинуса разности с формулой косинуса суммы: между произведениями в ней стоит плюс. После подстановки значений получится точное выражение с квадратными корнями. Проверка знака полезна: косинус 15° должен быть положительным.
Ответ: (√6 + √2)/4. В этом примере численное выражение совпало с найденным в предыдущей задаче, что согласуется с тождеством sin 75° = cos 15°. Главное при вычислении — использовать формулу именно для разности и сохранить плюс между произведениями.
Задача 3. Упростить tg(α + β), если tg α = 1/2 и tg β = 1/3, и проверить допустимость вычисления. Значения тангенсов заданы, поэтому применим формулу тангенса суммы. Но прежде чем делить, нужно проверить знаменатель: если бы он оказался нулём, формула не дала бы определённого значения. Подстановка покажет, что деление допустимо.
Ответ: tg(α + β) = 1. Знаменатель формулы равен 5/6, поэтому деление допустимо. Также по данным значениям тангенсы α и β определены, что необходимо для применения формулы.
В формуле косинуса суммы иногда ставят плюс перед sin a sin b. Ошибка возникает из-за того, что в формулах синуса часто встречается плюс, и знаки переносят по аналогии. Проверьте себя по таблице: cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b, минус относится именно к произведению синусов. Можно также проверить случай b = 0: формула должна дать cos a.
В формулах разности нередко меняют знаки без учёта того, какая функция чётная, а какая нечётная. Замена b на −b сохраняет косинус: cos(−b) = cos b, но меняет знак синуса: sin(−b) = −sin b. Поэтому, например, cos(a − b) содержит плюс между произведениями, а sin(a − b) — минус. Для проверки каждый раз можно подставить −b в формулу суммы.
В знаменателе тангенса суммы иногда пишут плюс вместо минуса или путают формулы суммы и разности. Это происходит, когда вспоминают формулу по отдельным частям и не проверяют знак целиком. Сверьте обе формулы: для суммы знаменатель 1 − tg a tg b, для разности — 1 + tg a tg b. Надёжная проверка — вывести дробь делением формулы синуса на формулу косинуса.
Формулу тангенса применяют, не проверив, что знаменатель отличен от нуля. Тогда в вычислении возникает деление на ноль, хотя искомое выражение может быть не определено. После подстановки отдельно найдите знаменатель и убедитесь, что он не равен нулю; также проверьте, что tg a и tg b существуют. Не заменяйте эту проверку простым вычислением числителя.
До изучения формул сложения нужно знать определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, их значения для основных углов, а также чётность косинуса и нечётность синуса. Эти знания помогают обосновывать формулы разности и подставлять табличные значения. Формулы сложения затем используются для преобразования тригонометрических выражений, вывода формул двойного угла, решения тригонометрических уравнений и вычисления значений функций. Поэтому владение ими связывает вычисления с более сложными преобразованиями.
Как запомнить знаки в формулах синуса и косинуса суммы?
В синусе суммы знаки между двумя произведениями совпадают: sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b. В косинусе суммы стоит минус: cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b. Полезно запомнить это как «синус — плюс, косинус — минус».
Почему в формуле косинуса суммы стоит минус?
При повороте точки на угол a + b координаты складываются с учётом того, как меняются оси координат. В выражении для горизонтальной координаты второй поворот даёт слагаемое −sin a sin b, поэтому cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b.
Как получить формулы для разности углов?
Нужно представить разность как сумму: a − b = a + (−b), а затем подставить −b в формулы суммы. При этом cos(−b) = cos b, а sin(−b) = −sin b, поэтому в формулах разности меняются знаки при соответствующих произведениях.
Когда можно применять формулу тангенса суммы?
Формула применима, когда tg a и tg b определены и знаменатель 1 − tg a tg b не равен нулю. Если знаменатель равен нулю, тангенс суммы не определён, поэтому подстановка в дробь недопустима.
Как с помощью формул сложения вычислить sin 75°?
Представьте 75° как 45° + 30° и примените формулу синуса суммы. Подставьте табличные значения: sin 45° = cos 45° = √2/2, sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2. Получится sin 75° = (√6 + √2)/4.
Формулы сложения
