"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)", Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Двойным называют угол 2α, то есть угол, вдвое больший α. Его синус, косинус и тангенс можно выразить через значения тригонометрических функций угла α. Основные формулы помогают преобразовывать выражения и решать уравнения: для косинуса есть три равносильные формы, а формула тангенса требует проверки знаменателя. Умение выбирать подходящую запись упрощает вычисления и помогает не ошибиться со знаками.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Двойной угол — это угол вида 2α, где α — исходный угол. Его величина вдвое больше величины α: например, если α = 30°, то 2α = 60°. Обозначение помогает применять формулы сложения к углу, который записан как удвоенный. Поэтому двойной угол не означает отдельную новую операцию над тригонометрической функцией.
Синус двойного угла — значение sin(2α), выраженное через синус и косинус угла α. Формула sin 2α = 2 sin α cos α показывает, что одного только синуса исходного угла обычно недостаточно: нужно также знать его косинус или знак косинуса. Это удобно, когда обе функции угла α уже известны. Тогда можно найти синус удвоенного угла без отдельного определения самого угла.
Косинус двойного угла — значение cos(2α), которое можно выразить несколькими равносильными формулами через sin α и cos α. Они записываются так: cos² α − sin² α, 1 − 2 sin² α и 2 cos² α − 1. Выбирать форму можно по имеющимся данным: одна использует обе функции, а две другие — только одну. Это избавляет от лишних вычислений, например от нахождения корня.
Тангенс двойного угла — значение tg(2α), выраженное через tg α формулой tg 2α = 2 tg α / (1 − tg² α). Дробь имеет смысл, только если tg α определён и знаменатель не равен нулю. Поэтому при подстановке важно проверить не только числитель, но и знаменатель. Такая проверка объясняет, почему тангенс двойного угла существует не для каждого α.
Чтобы получить формулу синуса двойного угла, представим 2α как сумму α + α. Формула синуса суммы даёт sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α. Слагаемые одинаковы, поэтому их сумма равна 2 sin α cos α. Множитель cos α появляется именно из формулы суммы: запись sin 2α = 2 sin α потеряла бы часть результата.
Для косинуса поступаем так же: cos 2α = cos(α + α). По формуле косинуса суммы это cos α cos α − sin α sin α, то есть cos² α − sin² α. Из основного тождества cos² α = 1 − sin² α, поэтому выражение превращается в 1 − 2 sin² α. Если вместо этого заменить sin² α на 1 − cos² α, получим 2 cos² α − 1. Значит, три записи равносильны, но удобство зависит от известных значений.
Тангенс — это отношение синуса к косинусу: tg 2α = sin 2α / cos 2α, если cos 2α ≠ 0. Подставим формулы двойного угла и разделим числитель и знаменатель на cos² α: получится 2 tg α / (1 − tg² α). Деление на cos² α допустимо только при cos α ≠ 0, то есть когда tg α определён. Также требуется 1 − tg² α ≠ 0; при tg α = ±1 косинус 2α равен нулю и tg 2α не существует.
Три формы косинуса удобны в разных ситуациях: cos² α − sin² α подходит, когда известны обе функции, 1 − 2 sin² α — когда дан синус, а 2 cos² α − 1 — когда дан косинус. Так можно не вычислять неизвестную функцию и не выбирать её знак. Знак результата также можно проверить по углу 2α: например, положительный косинус соответствует четверти, где косинус положителен. Для синуса двойного угла учитывают произведение sin α cos α, а для тангенса — отношение sin 2α к cos 2α.
| Функция | Формула | Условие применения |
|---|---|---|
| sin 2α | sin 2α = 2 sin α cos α | Синус и косинус α определены |
| cos 2α через синус и косинус | cos 2α = cos² α − sin² α | Синус и косинус α определены |
| cos 2α через sin α | cos 2α = 1 − 2 sin² α | Известен sin α |
| cos 2α через cos α | cos 2α = 2 cos² α − 1 | Известен cos α |
| tg 2α | tg 2α = 2 tg α / (1 − tg² α) | tg α определён; 1 − tg² α ≠ 0 |
Сначала найдите в таблице функцию, значение которой требуется вычислить, а затем выберите формулу, использующую известные данные. Для тангенса обязательно проверьте оба условия в последней строке, прежде чем подставлять число. Если условие не выполнено, дробная запись не даёт значения tg 2α.
Задача 1. Найти sin 2α, если sin α = 3/5 и α лежит в первой четверти. Требуется использовать формулу sin 2α = 2 sin α cos α, поэтому сначала найдём недостающий косинус. Основное тождество даёт cos² α = 1 − sin² α. Так как в первой четверти косинус положителен, выбираем положительный корень.
Ответ: sin 2α = 24/25. Здесь сведения о четверти понадобились, чтобы выбрать знак косинуса; без них возможны два значения cos α и, соответственно, разные значения sin 2α.
Задача 2. Найти cos 2α, если cos α = −4/5. Поскольку дан косинус, удобнее взять cos 2α = 2 cos² α − 1. Такая запись позволяет не вычислять sin α и не выяснять, в какой четверти находится α. Возводим данное значение в квадрат, поэтому его отрицательный знак на этом шаге исчезает.
Ответ: cos 2α = 7/25. Результат положителен, что согласуется с выбранным вычислением; знак самого cos α не нужно переносить на cos 2α, так как используется квадрат.
Задача 3. Найти tg 2α, если tg α = 2, и определить, при каких значениях tg α формула неприменима. Подставляем данное значение в формулу двойного угла, предварительно проверяя знаменатель. Он равен 1 − 2² = −3, то есть не равен нулю. Значит, дробь определена.
Ответ: при tg α = 2 значение tg 2α равно −4/3; формула неприменима при tg α = ±1, а также когда сам tg α не существует. В последнем случае α = π/2 + πk, и исходная дробь через tg α записать нельзя.
Ошибка: записывать sin 2α = 2 sin α. Так упускают множитель cos α, потому что воспринимают удвоение угла как простое удвоение значения синуса. Проверьте запись выводом через sin(α + α): в формуле суммы есть два слагаемых, и в каждом присутствует косинус. Например, при α = 0 обе формулы дают ноль, поэтому одной такой проверкой ошибку не обнаружить — надёжнее именно вывод.
Ошибка: путать знаки в формуле косинуса, записывая сумму квадратов вместо разности или меняя знак перед слагаемым. Обычно это происходит при механическом запоминании формулы суммы. Восстановите её из cos(α + α): произведение косинусов идёт со знаком плюс, а произведение синусов — со знаком минус. Дополнительно подставьте α = 0: cos 0 должно равняться 1, поэтому запись cos² α + sin² α для cos 2α не подходит.
Ошибка: применять формулу tg 2α, когда 1 − tg² α = 0. При tg α = ±1 знаменатель дроби равен нулю, а деление на ноль не определено. Перед вычислением подставьте значение tg α именно в знаменатель и проверьте результат. При нулевом знаменателе это не означает, что ответ равен нулю или бесконечности: tg 2α не определён.
Ошибка: переходить от cos 2α = 1 − 2 sin² α к cos 2α = 2 cos² α − 1, не используя тождество sin² α + cos² α = 1. Так теряется обоснование и легко получить неверный знак. Чтобы проверить переход, замените sin² α на 1 − cos² α и раскройте скобки: 1 − 2(1 − cos² α) = 2 cos² α − 1. Если получилась другая запись, проверьте раскрытие скобок.
Для вывода формул двойного угла нужны формулы синуса и косинуса суммы, тождество sin² α + cos² α = 1, а также определение тангенса как отношения синуса к косинусу. Область определения тангенса нужна, чтобы понимать, когда можно делить на cos α и когда формула имеет смысл. Эти знания связывают преобразование углов с уже изученными тригонометрическими соотношениями.
Формулы двойного угла применяют при упрощении выражений и решении тригонометрических уравнений. Они также помогают преобразовывать формулы в последующих темах тригонометрии, заменяя функцию двойного угла выражениями через α. Выбор равносильной формы позволяет использовать уже известное значение и сократить вычисления.
Почему в формуле sin 2α появляется множитель cos α?
Представляем 2α как α + α и применяем формулу синуса суммы: sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α. Два одинаковых слагаемых дают 2 sin α cos α.
Какая из формул cos 2α удобнее, если известен только синус угла?
Используйте cos 2α = 1 − 2 sin² α. Она позволяет найти результат напрямую, не вычисляя cos α и не определяя его знак.
Можно ли применять формулу tg 2α, если tg α = 1?
Нет: тогда знаменатель 1 − tg² α равен нулю. Кроме того, при tg α = 1 угол α имеет вид π/4 + πk, поэтому 2α = π/2 + 2πk и тангенс двойного угла не определён.
Нужно ли знать четверть, чтобы вычислить sin 2α по значению sin α?
В общем случае нужно знать знак cos α: формула sin 2α = 2 sin α cos α зависит от него. Если четверть неизвестна, одного значения sin α обычно недостаточно, чтобы однозначно определить sin 2α.
Как проверить, что выбранная формула двойного угла применима?
Убедитесь, что известные величины позволяют подставить данные в формулу, а нужные функции определены. Для тангенса отдельно проверьте, что tg α существует и 1 − tg² α ≠ 0.
Синус, косинус и тангенс двойного угла
