"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)", Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Формулы половинного угла связывают sin(α/2), cos(α/2) и tg(α/2) со значениями sin α и cos α. Они помогают находить точные значения тригонометрических функций и преобразовывать выражения. Для синуса и косинуса формулы содержат квадратный корень и знак ±: нужный знак выбирают по четверти, в которой находится α/2. Тангенс можно выразить дробью несколькими способами, но у каждого есть условие применимости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус половинного угла — это значение функции sin(α/2), где α — исходный угол, а α/2 — угол вдвое меньше. Его можно выразить так: sin(α/2) = ±√((1 − cos α)/2). Знак выбирают по четверти, в которой находится α/2. Эта формула позволяет найти синус половинного угла, зная косинус исходного.
Косинус половинного угла — значение cos(α/2), то есть косинус угла, полученного делением α на два. Формула через косинус исходного угла имеет вид cos(α/2) = ±√((1 + cos α)/2). Знак также зависит от четверти половинного угла. Формула полезна, когда известен cos α, но не известен cos(α/2).
Тангенс половинного угла — значение tg(α/2), которое можно выразить через синус и косинус α: tg(α/2) = sin α/(1 + cos α) или tg(α/2) = (1 − cos α)/sin α. Эти две записи равны там, где обе дроби определены. Они дают выбор: можно использовать ту, в которой известные значения проще подставить и знаменатель не равен нулю.
Начнём с формул двойного угла для косинуса: cos 2x = 1 − 2sin² x и cos 2x = 2cos² x − 1. В них подставим x = α/2, тогда 2x = α, а cos 2x становится cos α. Из первой формулы получаем sin²(α/2) = (1 − cos α)/2, а из второй — cos²(α/2) = (1 + cos α)/2. Так выражения для половинного угла появляются не из отдельного правила, а из уже известных формул двойного угла.
Чтобы перейти от квадратов к самим функциям, нужно извлечь квадратный корень. Но равенство u² = a при a ≥ 0 означает, что u может быть как √a, так и −√a. Поэтому в формулах для sin(α/2) и cos(α/2) записывают знак ±, а не только плюс. Значение под корнем не определяет знак функции: он зависит от положения угла на координатной окружности.
Для выбора знака установите четверть именно угла α/2. Синус — это ордината точки на единичной окружности, поэтому он положителен в верхней полуплоскости, то есть в I и II четвертях, а в III и IV отрицателен. Косинус — абсцисса этой точки: он положителен в I и IV четвертях, отрицателен во II и III. Если, например, α/2 лежит во II четверти, синус берут с плюсом, а косинус — с минусом.
Для первой дробной формулы воспользуемся sin α = 2sin(α/2)cos(α/2) и равенством 1 + cos α = 2cos²(α/2). Тогда sin α/(1 + cos α) = 2sin(α/2)cos(α/2)/(2cos²(α/2)) = tg(α/2). Здесь сокращение на cos(α/2) допустимо, когда он не равен нулю; это соответствует условию cos α ≠ −1.
Для второй записи заметим, что 1 − cos α = 2sin²(α/2), а sin α = 2sin(α/2)cos(α/2). Их отношение равно tg(α/2), если sin α ≠ 0. Оба вывода используют формулы двойного угла, а основное тождество sin² α + cos² α = 1 позволяет при необходимости находить недостающее значение. Выбирайте дробь по данным задачи: у первой не должен обнулиться 1 + cos α, у второй — sin α.
| Функция | Формула через cos α | Формула через sin α и cos α |
|---|---|---|
| sin(α/2) | ±√((1 − cos α)/2); знак определяется значением α/2 | — |
| cos(α/2) | ±√((1 + cos α)/2); знак определяется значением α/2 | — |
| tg(α/2) | ±√((1 − cos α)/(1 + cos α)); знак определяется значением α/2 | — |
| tg(α/2) | — | sin α/(1 + cos α), если cos α ≠ −1 |
| tg(α/2) | — | (1 − cos α)/sin α, если sin α ≠ 0 |
Сначала посмотрите, какие значения известны: для синуса и косинуса половинного угла достаточно cos α, а для тангенса можно выбрать один из трёх вариантов. В формулах с корнем не забудьте установить знак по четверти α/2. В дробных формулах проверьте условие у знаменателя до подстановки.
Задача 1. Найти sin 15°, если cos 30° = √3/2. Угол 15° — половина 30°, поэтому подходит формула синуса половинного угла. Поскольку 15° находится в I четверти, синус положителен. Подставим известный косинус и упростим корень.
Ответ: sin 15° = √(2 − √3)/2.
Задача 2. Найти cos 75°, если cos 150° = −√3/2. Здесь 75° — половина 150°, поэтому используем формулу косинуса половинного угла. Угол 75° лежит в I четверти, а значит, косинус положителен. После подстановки важно внимательно упростить выражение под корнем.
Ответ: cos 75° = √(2 − √3)/2.
Задача 3. Найти tg 22,5°, используя sin 45° и cos 45°. Угол 22,5° вдвое меньше 45°, а значения sin 45° и cos 45° известны. Выберем формулу sin α/(1 + cos α): она использует оба данных значения, а её знаменатель при α = 45° не равен нулю. Затем упростим полученную дробь.
Ответ: tg 22,5° = √2 − 1.
Первая ошибка — считать, что перед корнем всегда нужно ставить плюс. Это происходит, когда забывают, что извлечение корня из квадрата даёт модуль числа, а не само число. Проверьте четверть α/2 и знак нужной функции: в III четверти, например, и синус, и косинус отрицательны.
Вторая ошибка — определять четверть для α, а не для α/2. Угол после деления может оказаться в другой четверти, поэтому знак получится неверным. Для проверки сначала вычислите половину угла и только затем установите её положение на окружности.
Третья ошибка — подставлять cos α = −1 в формулу sin α/(1 + cos α). Знаменатель при этом становится нулём, поэтому дробь не определена. Перед вычислением найдите знаменатель; если он равен нулю, выберите другой допустимый способ или учтите, что tg(α/2) в этом случае также не существует.
Четвёртая ошибка — применять (1 − cos α)/sin α, когда sin α = 0. Причина та же: деление на ноль невозможно, даже если числитель вычисляется. Подстановка с проверкой знаменателя выявит ошибку до сокращений; при sin α = 0 используйте другую запись лишь тогда, когда она определена.
Для вывода формул половинного угла нужны основное тригонометрическое тождество sin² α + cos² α = 1 и формулы двойного угла, особенно cos 2x = 1 − 2sin² x и cos 2x = 2cos² x − 1. Поэтому полезно уметь преобразовывать выражения и определять знаки функций по четвертям. Новые формулы затем помогают находить точные значения, когда известна функция удвоенного угла, и упрощать тригонометрические выражения. Они связывают значения функций при α и α/2.
Откуда берутся формулы синуса и косинуса половинного угла?
Из формул двойного угла: cos 2x = 1 − 2 sin² x и cos 2x = 2 cos² x − 1. Если положить x = α/2, то 2x = α; после выражения квадратов синуса и косинуса и извлечения корня получаются формулы половинного угла.
Почему в формулах синуса и косинуса половинного угла есть знак ±?
После преобразования получается значение sin²(α/2) или cos²(α/2), а квадрат числа не показывает, было ли само число положительным или отрицательным. Поэтому при извлечении квадратного корня возможны оба знака. Верный знак определяют по четверти, где лежит α/2.
Как определить знак в формуле для sin(α/2) или cos(α/2)?
Сначала найдите четверть именно угла α/2, а затем используйте знаки тригонометрических функций в этой четверти. Синус положителен в I и II четвертях, косинус — в I и IV. Если угол дан в градусах или радианах за пределами одного оборота, сначала приведите его к соответствующему положению на окружности.
Какую из формул тангенса половинного угла лучше использовать?
Выбирайте запись, для которой известны значения и не обращается в ноль знаменатель. Формула sin α/(1 + cos α) удобна, когда известны sin α и cos α, а cos α не равен −1. Запись (1 − cos α)/sin α подходит, если sin α не равен нулю.
При каких значениях угла нельзя применять дробные формулы для tg(α/2)?
В выражении sin α/(1 + cos α) знаменатель равен нулю при cos α = −1, то есть при α = π + 2πk. В выражении (1 − cos α)/sin α нельзя делить при sin α = 0, то есть при α = πk. Учитывайте, что у самих дробей условия могут быть строже, чем у значения tg(α/2).
Синус, косинус и тангенс половинного угла
