"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Формулы сложения связывают значение тригонометрической функции суммы или разности двух углов со значениями функций этих углов. Они позволяют вычислять sin, cos и tg для углов, которые удобно представить как сумму или разность известных углов. Главное — не перепутать знаки: у синуса знак сохраняется, у косинуса меняется на противоположный, а у тангенса нужно проверить знаменатель.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус суммы выражается формулами: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β и sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β. Знак перед вторым произведением совпадает со знаком между углами. Это позволяет находить синус сложного угла через табличные значения.
Косинус суммы и разности задаётся так: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β, cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. Здесь знак меняется на противоположный. Такая особенность помогает быстро выбрать нужную формулу.
Тангенс суммы определяется формулой tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α tg β). Она применима, когда tg α и tg β существуют, а знаменатель не равен нулю. Иначе выражение справа или сам тангенс суммы не имеет смысла.
Тангенс разности вычисляется по формуле tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α tg β). В числителе стоит разность, а в знаменателе — сумма произведения и единицы. По сравнению с формулой суммы оба знака меняются.
Формулы сложения нужны потому, что значение функции от одного угла часто неизвестно напрямую, а значения функций двух более простых углов уже известны. Если представить угол как α + β или α − β, его функцию можно заменить комбинацией синусов и косинусов α и β. Поэтому формулы особенно полезны для углов 15°, 75°, 105° и подобных им.
Связь с единичной окружностью объясняет формулы синуса и косинуса. Точка, соответствующая углу α, имеет координаты (cos α; sin α), а поворот этой точки ещё на β меняет координаты по правилам поворота. Первая координата новой точки равна cos α cos β − sin α sin β, а вторая — sin α cos β + cos α sin β, поэтому получаются формулы косинуса и синуса суммы.
Формулы разности получают из формул суммы, если вместо β записать −β. Косинус не меняется при смене знака угла: cos(−β) = cos β, а синус меняет знак: sin(−β) = −sin β. Из-за этого в формуле синуса плюс превращается в минус, а в формуле косинуса минус превращается в плюс.
Формула тангенса суммы получается делением формулы синуса суммы на формулу косинуса суммы: tg(α + β) = sin(α + β) / cos(α + β). После деления числителя и знаменателя на cos α cos β возникают tg α и tg β, но это разрешено только при ненулевом знаменателе. Поэтому дополнительно требуется 1 − tg α tg β ≠ 0.
При вычислении сначала представляют заданный угол удобной суммой или разностью, затем выбирают формулу нужной функции. После подстановки табличных значений раскрывают скобки и приводят подобные множители. В конце полезно проверить знак и примерный размер результата: синус и косинус не выходят за пределы от −1 до 1.
| Функция | Сумма углов | Разность углов | Условия для тангенса |
|---|---|---|---|
| Синус | sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β | sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β | — |
| Косинус | cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β | cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β | — |
| Тангенс | tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α tg β) | tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α tg β) | Знаменатель не равен нулю; тангенсы углов должны быть определены |
Сначала определите, какую функцию и какое сочетание углов нужно вычислить. Затем найдите соответствующую строку и столбец таблицы, внимательно сверяя знак между углами.
Для тангенса отдельно проверьте существование tg α и tg β и ненулевой знаменатель. Для синуса и косинуса достаточно корректно подставить значения в выбранную формулу.
Представим 75° как 45° + 30°. Подходит формула синуса суммы, потому что известны значения синусов и косинусов обоих углов.
Ответ: sin 75° = (√6 + √2) / 4. Оба слагаемых положительны, что согласуется с расположением угла 75°.
Угол 15° удобно представить как 45° − 30°. Для разности косинусов перед произведением синусов используется плюс.
Ответ: cos 15° = (√6 + √2) / 4. Ошибка со знаком дала бы другое значение, поэтому знак в формуле нужно проверять до подстановки.
Представим 15° как 45° − 30° и применим формулу тангенса разности. Затем сравним результат с отношением sin 15° к cos 15°.
Ответ: tg 15° = 2 − √3. Тангенсы 45° и 30° определены, а знаменатель 1 + √3/3 не равен нулю.
Часто меняют местами знаки в формулах косинуса. При сумме перед sin α sin β стоит минус, при разности — плюс, потому что косинус меняет знак при переходе от суммы к разности. Проверьте себя, записав рядом оба выражения.
В формуле синуса разности иногда оставляют плюс перед вторым произведением. Это происходит из-за механического запоминания формулы косинуса. Сверьте знак с записью угла: для α − β между произведениями должен стоять минус.
Некоторые применяют формулу тангенса при нулевом знаменателе. В таком случае деление невозможно, а тангенс суммы или разности не определён. Перед вычислением отдельно найдите значение знаменателя.
Ещё одна ошибка — подстановка tg α или tg β для углов, где тангенс не существует. Тангенс не определён, например, при углах π/2 + πk. Сначала убедитесь, что cos α ≠ 0 и cos β ≠ 0.
До изучения формул сложения нужны определения синуса, косинуса и тангенса, представление об единичной окружности и табличные значения основных углов. Эти знания объясняют смысл формул и позволяют выполнять подстановки без дополнительных вычислений.
Формулы сложения используются при преобразовании тригонометрических выражений и решении уравнений. Из них также выводятся формулы двойного угла, если положить α = β.
Как не перепутать знаки в формулах синуса и косинуса?
У синуса знак между произведениями совпадает со знаком между углами: сумма даёт плюс, разность — минус. У косинуса порядок обратный: при сумме стоит минус, а при разности — плюс.
Почему в формуле косинуса суммы перед произведением синусов стоит минус?
При последовательных поворотах координаты точки на единичной окружности перемножаются и складываются по правилам координатного преобразования. Для первой координаты, то есть косинуса, произведение синусов входит со знаком минус.
Как получить формулы разности углов из формул суммы?
В формуле суммы заменяют β на −β. Затем используют cos(−β) = cos β и sin(−β) = −sin β, поскольку косинус чётный, а синус нечётный.
Когда нельзя применять формулу тангенса суммы?
Формула неприменима, если tg α или tg β не определён либо знаменатель 1 − tg α tg β равен нулю. Последнее означает, что тангенс суммы не существует.
Как выбрать удобное представление угла для вычисления значения функции?
Представьте угол через табличные углы 30°, 45°, 60° и другие известные значения. Выбирайте сумму или разность, при которой значения синуса, косинуса или тангенса легко подставить.
§ 9. Формулы сложения
