"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Арктангенс и арккотангенс помогают находить угол по значению его тангенса или котангенса. При сложении таких углов можно воспользоваться формулой тангенса суммы, но одного вычисления дроби недостаточно: арктангенс возвращает угол только из своего главного промежутка. Поэтому нужно проверить произведение аргументов и знаки, а в некоторых случаях прибавить или вычесть π. Эти правила позволяют точно упрощать выражения и решать уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арктангенс числа x, обозначаемый arctg x, — угол из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен x. Например, если тангенс угла равен 1, то этот угол — π/4. Ограничение интервала делает значение arctg однозначным и позволяет точно понимать, какой именно угол обозначает запись.
Арккотангенс числа x, обозначаемый arcctg x, — угол из интервала (0; π), котангенс которого равен x. Например, arcctg 1 = π/4, а arcctg 0 = π/2. Свой интервал значений нужен, чтобы для каждого числа котангенса выбирать один определённый угол.
Формула суммы арктангенсов выражает arctg x + arctg y через арктангенс дроби (x + y)/(1 − xy), учитывая диапазон значений и знаки x и y. Дробь возникает из формулы тангенса суммы, но её арктангенс не всегда совпадает с исходной суммой. Поэтому это правило помогает складывать углы только после проверки условий.
Связь арктангенса и арккотангенса задаётся равенством arctg x + arcctg x = π/2. Значит, arcctg x можно заменить на π/2 − arctg x. Такая замена позволяет применять формулы для арктангенсов и к выражениям с арккотангенсами.
Начнём с обычного тождества для тангенса суммы: tg(α + β) = (tg α + tg β)/(1 − tg α · tg β). Положим α = arctg x и β = arctg y, тогда tg α = x, а tg β = y. Подстановка даёт тангенс суммы: tg(α + β) = (x + y)/(1 − xy). Отсюда можно получить нужную дробь, но пока лишь значение тангенса суммы, а не саму сумму углов.
Причина, по которой требуется поправка, — разные промежутки значений. Сумма двух углов из (−π/2; π/2) может лежать вне этого интервала, тогда как arctg дроби всегда возвращает угол только внутри него. Поскольку тангенс повторяется через π, два таких угла могут иметь одинаковый тангенс и отличаться на π. Поэтому сначала определяют, где лежит сумма, и лишь потом выбирают выражение для неё.
Если xy < 1, сумма arctg x + arctg y находится в главном интервале (−π/2; π/2), так что она равна arctg((x + y)/(1 − xy)). Это видно по знаку 1 − xy: при положительном знаменателе сумма остаётся между асимптотами тангенса. Если xy > 1, аргументы x и y обязательно имеют один знак. Для положительных x и y оба угла положительны, а их сумма больше π/2: к arctg дроби нужно прибавить π. Для отрицательных аргументов сумма меньше −π/2, поэтому из арктангенса дроби вычитают π.
При xy = 1 знаменатель 1 − xy обращается в ноль, и дробь в формуле не существует. Если x и y положительны, углы дополняют друг друга до π/2; если отрицательны — их сумма равна −π/2. Арктангенс этих углов не определён, поэтому случай разбирают без дроби. Формулы разности получают из суммы заменой y на −y: в знаменателе тогда появляется 1 + xy. Для арккотангенса используют arcctg x = π/2 − arctg x и затем проверяют, что найденное значение принадлежит интервалу (0; π).
| Ситуация | Формула | Условия и поправка |
|---|---|---|
| Связь арктангенса и арккотангенса | arctg x + arcctg x = π/2 | Для любого действительного x |
| Сумма арктангенсов при xy < 1 | arctg x + arctg y = arctg((x + y)/(1 − xy)) | Поправка на π не нужна |
| Сумма арктангенсов при xy > 1 и x, y > 0 | arctg x + arctg y = arctg((x + y)/(1 − xy)) + π | К главному значению прибавляют π |
| Сумма арктангенсов при xy > 1 и x, y < 0 | arctg x + arctg y = arctg((x + y)/(1 − xy)) − π | Из главного значения вычитают π |
| Сумма арктангенсов при xy = 1 | arctg x + arctg y = π/2 при x, y > 0; −π/2 при x, y < 0 | Знаменатель обращается в ноль; дробь не используют |
| Разность арктангенсов | Если xy > −1: arctg x − arctg y = arctg((x − y)/(1 + xy)) | При xy < −1 и x > 0, y < 0 прибавляют π; при x < 0, y > 0 вычитают π. При xy = −1 разность равна π/2 или −π/2 соответственно. |
Сначала найдите произведение аргументов и определите знаки x и y, затем выберите нужную строку. Если произведение даёт нулевой знаменатель, применяйте отдельный случай, а не подставляйте его в дробь. Такая проверка помогает не потерять поправку на π.
Оба аргумента положительны, а их произведение равно 1, поэтому знаменатель формулы суммы обнуляется. Используем отдельный случай для xy = 1, а не пытаемся вычислить арктангенс дроби с нулевым знаменателем. По этому случаю сумма положительных углов равна π/2.
Произведение аргументов меньше единицы, поэтому поправка на π не понадобится. Найдём дробь из формулы суммы: её числитель равен 2 + 1/3, а знаменатель — 1 − 2 · 1/3. Получим 7/3, делённое на 1/3, то есть 7; искомое выражение равно arctg 7.
Заменим каждый арккотангенс выражением π/2 − arctg. Тогда сумма станет π − (arctg 2 + arctg 3). Для суммы арктангенсов произведение равно 6, а аргументы положительны, значит, арктангенс дроби нужно дополнить π. После вычисления поправки сокращаются, и остаётся значение арктангенса положительного числа.
Ошибка — сразу применять формулу суммы, не проверив xy. Тогда дробь даёт тангенс суммы, но её арктангенс может оказаться другим углом. Так поступают, потому что формула похожа на прямое равенство; проверка произведения и знаков показывает, нужна ли поправка на π.
При xy > 1 можно забыть поправку или выбрать её знак наугад. Для положительных x и y к arctg дроби прибавляют π, а для отрицательных — вычитают π. Проверьте знак исходной суммы: она положительна в первом случае и отрицательна во втором.
Нельзя подставлять xy = 1 в формулу с дробью: знаменатель становится нулём, хотя сама сумма существует. Эту ситуацию разбирают отдельно, получая π/2 или −π/2 по знакам аргументов. Самопроверка проста: если знаменатель нулевой, переходите к отдельному случаю.
Ещё одна ошибка — считать, что arctg x и arcctg x принимают значения в одном промежутке. Главные значения арктангенса лежат в (−π/2; π/2), а арккотангенса — в (0; π). Проверяйте интервал найденного угла: он помогает обнаружить неверную замену или лишнюю поправку.
Для работы с формулами нужно знать главные значения арктангенса и арккотангенса, а также формулы тангенса суммы и разности углов. Именно из формулы тангенса суммы получается дробь (x + y)/(1 − xy), а замена одного аргумента на противоположный приводит к формуле разности. Формулы обратных тригонометрических функций пригодятся при упрощении выражений и решении уравнений, где неизвестная или заданная величина входит под arctg или arcctg.
Почему формула суммы арктангенсов зависит от произведения аргументов?
В знаменателе формулы стоит 1 − xy, а его знак показывает, в какой четверти находится сумма углов. От этого зависит, совпадает ли сумма с главным значением арктангенса дроби или отличается от него на π. Поэтому нужно проверять xy.
Когда к результату нужно прибавлять или вычитать π?
Если xy > 1 и оба аргумента положительны, к арктангенсу дроби прибавляют π. Если оба аргумента отрицательны, из него вычитают π. Поправка нужна, потому что сумма углов выходит за интервал значений арктангенса.
Что делать, если произведение аргументов равно 1?
Разберите этот случай отдельно: знаменатель 1 − xy равен нулю. При положительных аргументах сумма равна π/2, при отрицательных — −π/2. Арктангенс этих углов не определён.
Как выразить арккотангенс через арктангенс?
Для любого действительного x выполняется равенство arcctg x = π/2 − arctg x. Оно следует из того, что соответствующие углы дополняют друг друга до π/2. При вычислениях также проверяйте, что результат принадлежит интервалу (0; π).
Почему арктангенс дроби не всегда равен сумме арктангенсов?
Формула тангенса суммы определяет тангенс угла, но одинаковый тангенс имеют углы, отличающиеся на π. При этом arctg возвращает только значение из (−π/2; π/2). Если сумма вышла за этот интервал, к главному значению нужно добавить или вычесть π.
8.6. Формулы для арктангенса и арккотангенса
