8.5. Примеры использования арктангенса и арккотангенса

Определения и обозначения

Арктангенс числа x — единственное число из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен x. Его обозначают arctg x, то есть tg(arctg x) = x. Такое ограничение выбирает один угол из бесконечного множества углов с одинаковым тангенсом.

Арккотангенс числа x — единственное число из интервала (0; π), котангенс которого равен x. Обозначение — arcctg x, поэтому ctg(arcctg x) = x. Этот интервал также нужен для однозначного выбора угла.

Главное значение арктангенса — угол из интервала (−π/2; π/2), выбранный из всех углов с заданным тангенсом. Например, углы π/4 и −3π/4 имеют один и тот же тангенс, но главным значением для числа 1 будет π/4. Именно главное значение записывают как результат arctg.

Главное значение арккотангенса — угол из интервала (0; π), выбранный из всех углов с заданным котангенсом. Например, для числа 1 это π/4, а для числа −1 — 3π/4. Поэтому запись arcctg сразу сообщает не только значение котангенса, но и выбранный интервал угла.

Как это устроено

Тангенс не является взаимно однозначным на всей числовой оси углов: его значения повторяются через π и не определены в точках π/2 + πk. Но на интервале (−π/2; π/2) функция непрерывно возрастает от −∞ к +∞. Поэтому каждое действительное число встречается там ровно один раз, и для него можно определить arctg.

Котангенс тоже повторяется через π и не определён при x = πk. На интервале (0; π) он непрерывно убывает от +∞ к −∞. Значит, каждое действительное число имеет на этом интервале единственный угол с данным котангенсом, что объясняет существование arcctg x для любого x.

Чтобы найти угол по известному значению тангенса или котангенса, сначала вспоминают табличное значение, а затем проверяют интервал главного значения. Знак тангенса показывает, в какой четверти находится угол: положительный знак даёт I или III четверть, отрицательный — II или IV. Для arctg разрешены только I и IV четверти, поэтому знак сразу выбирает нужную из них.

Для arcctg интервал (0; π) включает I и II четверти. Поэтому при x > 0 угол arcctg x лежит в I четверти, а при x < 0 — во II. Связь между функциями получается из тождества ctg y = 1/tg y и расположения главных значений: arcctg x = π/2 − arctg x. Формула с обратным аргументом требует осторожности: arcctg x = arctg(1/x) при x > 0, а при x < 0 к правой части добавляют π.

Сравнение арктангенса и арккотангенса

Таблица помогает быстро проверить, подходит ли найденный угол выбранной обратной функции. Сначала найдите строку «Область значений», затем используйте связь с тангенсом или котангенсом. Монотонность полезна для сравнения значений функций при разных аргументах.

Разбор задач

1. Найти arctg 1 и arcctg 1

Нужно подобрать стандартный угол, у которого тангенс и котангенс равны 1. Затем проверим, попадает ли этот угол в интервалы главных значений обеих функций.

1. Так как tg(π/4) = 1 и π/4 ∈ (−π/2; π/2), получаем arctg 1 = π/4.
2. Так как ctg(π/4) = 1 и π/4 ∈ (0; π), получаем arcctg 1 = π/4.

Ответ: arctg 1 = π/4, arcctg 1 = π/4.

2. Найти угол α из интервала (−π/2; π/2), если tg α = −√3

По таблице тангенс по модулю равен √3 у угла π/3. Отрицательный знак требует выбрать угол с отрицательным тангенсом, а заданный интервал оставляет вариант −π/3.

1. Находим опорный угол: tg(π/3) = √3.
2. Тангенс отрицателен в IV четверти среди углов данного интервала.
3. Значит, α = −π/3, и проверка даёт tg(−π/3) = −√3.

Ответ: α = −π/3.

3. Решить уравнение tg x = 2

Число 2 не является табличным значением, поэтому главное значение угла записывают через арктангенс. Однако один такой угол не даёт всех решений, поскольку тангенс повторяется через π.

1. Главное решение на интервале (−π/2; π/2): x₀ = arctg 2.
2. Используем периодичность tg(x + π) = tg x.
3. Добавляем к главному значению любое целое число периодов: x = arctg 2 + πk, k ∈ Z.

Ответ: x = arctg 2 + πk, k ∈ Z.

Типичные ошибки

Записывают arctg x как любой угол с тангенсом x, не проверяя интервал (−π/2; π/2). Ошибка появляется из-за периодичности тангенса: подходящих углов бесконечно много. Проверьте, что выбранный угол лежит в главном интервале и имеет нужный тангенс.

Путают интервалы значений обратных функций: для arctg это (−π/2; π/2), а для arcctg — (0; π). Из-за этого, например, для отрицательного котангенса выбирают IV четверть, хотя arcctg должен лежать во II. Перед вычислением выпишите интервал нужной функции.

Считают, что arcctg x = arctg(1/x) при любом ненулевом x. При отрицательном x эти углы находятся в разных четвертях и отличаются на π. Безопасная проверка — использовать формулу arcctg x = π/2 − arctg x.

В уравнении tg x = a оставляют только x = arctg a. Так теряются все углы, отличающиеся на целое число периодов тангенса. После нахождения главного значения обязательно допишите + πk, где k ∈ Z.

Связь с другими темами

Для работы с арктангенсом и арккотангенсом нужны определения тангенса и котангенса, их области определения, значения на основных углах и периодичность. Эти свойства объясняют выбор интервалов и появление общего решения.

Обратные функции применяются при решении тригонометрических уравнений и неравенств. В геометрии они помогают найти угол прямоугольного треугольника по отношению катетов или катета и гипотенузы.

Что запомнить

• arctg x — угол из (−π/2; π/2), тангенс которого равен x.
• arcctg x — угол из (0; π), котангенс которого равен x.
• Область определения обеих функций — все действительные числа.
• Арктангенс возрастает, а арккотангенс убывает.
• Для уравнения tg x = a общее решение имеет вид x = arctg a + πk, где k — целое число.
• При преобразовании выражений с arcctg нужно учитывать знак аргумента и интервал значений функции.