"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Косинус суммы и разности углов можно выразить через синусы и косинусы каждого угла по отдельности. Эти формулы помогают находить точные значения косинусов, преобразовывать тригонометрические выражения и решать уравнения. Главное — запомнить: при разности углов перед произведением синусов стоит плюс, а при сумме — минус. Формулы действуют для любых действительных углов, заданных в градусах или радианах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Косинус суммы двух углов — это значение cos(α + β), выраженное через синусы и косинусы углов α и β. Такая запись позволяет вычислить косинус нового угла, если известны значения функций для двух более простых углов. Например, сумму можно представить как сумму табличных углов.
Косинус разности двух углов — это значение cos(α − β), которое также выражается через синусы и косинусы углов α и β. Разность углов не означает разность их косинусов: формула связывает сразу четыре значения тригонометрических функций. Это полезно, когда угол удобнее представить как разность известных углов.
Формула косинуса суммы имеет вид cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. Иными словами, нужно перемножить косинусы, затем вычесть произведение синусов. Формула помогает находить точное значение косинуса суммы, не прибегая к приближённому вычислению угла.
Формула косинуса разности записывается так: cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. Сначала складывают произведение косинусов и произведение синусов. Зная эту запись, можно раскрывать косинус разности в выражениях и вычислять косинусы углов, заданных через разность.
Обе формулы показывают, как косинус составного угла связан с функциями его частей: отдельно взятых α и β. В результате используются два произведения — косинусов и синусов. Такой способ особенно удобен, если углы α и β выбраны так, что их значения известны или легко находятся.
Формулу разности можно понять через единичную окружность — окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Точка, соответствующая углу β, имеет координаты (cos β, sin β); если повернуть её на угол α, получится точка с углом α + β, поэтому для разности удобнее рассмотреть поворот на −α или взять разность углов как итоговый угол. Координаты после поворота на угол −α имеют вид (cos α cos β + sin α sin β, …), а первая координата равна косинусу разности β − α. Поскольку cos(β − α) = cos(α − β), получается нужная формула.
Из формулы разности выводят формулу суммы, заменяя β на −β: cos(α + β) = cos(α − (−β)). Косинус — чётная функция, поэтому cos(−β) = cos β, а синус — нечётная, поэтому sin(−β) = −sin β. После подстановки произведение синусов получает отрицательный знак, а произведение косинусов сохраняет положительный.
Значит, при переходе от разности углов к сумме знак меняется только перед произведением синусов: причиной служит нечётность синуса. Знак между косинусами остаётся положительным, потому что косинус не меняет значение при замене угла на противоположный. Это объяснение помогает не только запомнить формулы, но и восстановить их, если перепутал знаки.
Чтобы найти точное значение косинуса незнакомого угла, попробуй записать его как сумму или разность углов, для которых известны синусы и косинусы. Например, 75° удобно представить как 45° + 30°, а 15° — как 45° − 30°. Выбирай такое разложение, при котором значения подставляются без округлений.
| Выражение | Формула | Знак перед произведением синусов |
|---|---|---|
| cos(α − β) | cos α cos β + sin α sin β | Плюс |
| cos(α + β) | cos α cos β − sin α sin β | Минус |
Сначала найди скобки в аргументе и определи, стоит ли между углами плюс или минус. Затем выбери соответствующую строку: знак перед произведением синусов будет противоположным. При подстановке проверяй, что оба угла выражены в одной мере.
Ответ: cos 75° = (√6 − √2)/4.
Ответ: (√3/2) sin x − ½ cos x.
Ответ: cos α = (2 + √3)/2. Полученное значение больше 1, поэтому условия задачи несовместимы для действительного угла α: такого угла не существует. Проверка уравнения после вычислений помогает заметить это противоречие.
Ошибка: поменять знак не у того слагаемого. В формулах знак перед произведением синусов противоположен знаку между углами в скобках, поэтому легко перенести плюс или минус к произведению косинусов. Проверка: выпиши отдельно произведение косинусов, а затем сверь знак именно у произведения синусов.
Ошибка: записать cos(α + β) = cos α cos β + sin α sin β. Так выглядит формула косинуса разности, а при сумме перед произведением синусов стоит минус. Чтобы проверить себя, подставь β = 0: формула суммы должна дать cos α.
Ошибка: считать, что cos(α − β) = cos α − cos β. Это неверно, потому что косинус разности выражается через произведения синусов и косинусов, а не вычитанием значений функции. Например, при α = β левая часть равна 1, а cos α − cos α = 0.
Ошибка: подставлять градусы и радианы так, будто это одна и та же мера. Например, значения для π/3 относятся к 60°, а не к 3°. Перед вычислением приведи углы к одной мере и проверь, что используешь соответствующие табличные значения.
Для работы с формулами нужны определения синуса и косинуса угла, табличные значения основных углов, а также свойства чётности косинуса и нечётности синуса. Они объясняют и помогают проверить знаки в формулах. Знание этих связей пригодится при преобразовании тригонометрических выражений, вычислении точных значений и решении тригонометрических уравнений.
Как запомнить, где в формулах ставится плюс, а где минус?
Сравни знак в скобках со знаком перед произведением синусов: они противоположны. Поэтому для cos(α − β) ставится плюс, а для cos(α + β) — минус.
Почему в формуле косинуса суммы знак перед произведением синусов отрицательный?
При замене β на −β косинус не меняется, потому что он чётный, а синус меняет знак, потому что он нечётный. Поэтому из формулы разности получается минус перед произведением синусов в формуле суммы.
Можно ли найти косинус суммы, просто сложив косинусы углов?
Нет, в общем случае cos(α + β) не равен cos α + cos β. Нужно использовать формулу суммы: cos α cos β − sin α sin β.
Как вычислить косинус угла, который не является табличным?
Представь угол как сумму или разность углов, значения синусов и косинусов которых известны. Затем подставь их в соответствующую формулу и вычисли выражение.
Работают ли формулы, если углы заданы в радианах?
Да, обе формулы справедливы для углов в радианах и градусах. Главное — не смешивать меры в одном вычислении и подставлять согласованные значения.
9.1. Косинус разности и косинус суммы двух углов
