"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Косинус суммы и разности позволяет находить значение функции для сложного угла через синусы и косинусы двух известных углов. Главные формулы различаются знаком: для разности используется плюс, а для суммы — минус. Они верны для любых углов, поэтому помогают вычислять значения тригонометрических функций, упрощать выражения и выводить другие тождества, включая формулы двойного угла.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Косинус разности двух углов — это значение функции cos для угла, полученного вычитанием β из α: cos(α − β). Его можно выразить через значения отдельных углов: косинусы перемножаются, а к произведению прибавляется произведение синусов. Такая запись позволяет считать косинус сложного угла по известным табличным значениям.
Косинус суммы двух углов — значение cos для угла α + β, то есть cos(α + β). Для его нахождения перемножают косинусы α и β, а затем вычитают произведение их синусов. Это удобно, когда сумма углов известна через простые углы, например 30°, 45° или 60°.
Формула косинуса разности имеет вид: cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. Знак «плюс» относится ко всему произведению sin α sin β, а не только к последнему множителю. Формула связывает функцию сложного угла с четырьмя более простыми значениями.
Формула косинуса суммы записывается так: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. Она верна для любых углов α и β. Поэтому буквами можно обозначать острые, тупые, отрицательные углы и углы, большие полного оборота.
В формуле разности сначала перемножаются косинусы углов, затем к результату прибавляется произведение синусов: cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. Знак «плюс» появляется не случайно: при переходе от направлений углов разность координатных направлений приводит именно к сумме этих двух произведений. Поэтому нельзя переносить знак минус из выражения α − β прямо перед произведением синусов.
Формулу суммы можно получить из уже известной формулы разности. Представим α + β как α − (−β) и подставим второй угол −β: cos(α + β) = cos α cos(−β) + sin α sin(−β). Косинус — чётная функция, поэтому cos(−β) = cos β, а синус — нечётная, поэтому sin(−β) = −sin β; отсюда появляется минус перед произведением синусов.
Обе формулы применимы к любым углам, потому что они являются общими тригонометрическими тождествами. Тождество — равенство, сохраняющееся при всех допустимых значениях входящих в него величин. Значит, ограничивать α и β только острыми углами нельзя: при других углах меняются значения и знаки функций, но само равенство остаётся верным.
Чтобы вычислить косинус сложного угла, сначала представьте его как сумму или разность удобных углов. Например, для π/3 − π/4 используйте cos π/3 = ½, sin π/3 = √3/2, cos π/4 = √2/2 и sin π/4 = √2/2. После подстановки получится ½ · √2/2 + √3/2 · √2/2 = (√2 + √6)/4.
Формулы полезны и без численного вычисления. Если в выражении встречается cos(x + β), его можно заменить на cos x cos β − sin x sin β. Так сложное выражение превращается в сумму произведений, где известные значения β можно подставить отдельно, а одинаковые слагаемые — сократить или объединить.
| Выражение | Формула | Знак между произведениями |
|---|---|---|
| cos(α − β) | cos α cos β + sin α sin β | Плюс |
| cos(α + β) | cos α cos β − sin α sin β | Минус |
Пользуйтесь таблицей после того, как определили знак между углами внутри скобок. Затем отдельно подставьте косинусы и синусы каждого угла, не меняя порядок действий. Короткое правило для проверки: разность даёт плюс, сумма даёт минус.
Оба угла относятся к табличным, поэтому сложный косинус раскроем формулой разности. Нужно внимательно сохранить плюс между произведениями.
Ответ: cos(π/3 − π/4) = (√2 + √6)/4.
Угол 15° удобно представить как разность 45° и 30°. Это даёт доступ к известным значениям всех нужных синусов и косинусов.
Ответ: cos 15° = (√6 + √2)/4.
Здесь требуется не вычислить число, а раскрыть косинус суммы и увидеть сокращение. Поэтому сначала применяем формулу, не подставляя всё выражение целиком.
Ответ: −√3/2 sin x.
Первая ошибка — поменять знаки местами: написать плюс для суммы и минус для разности. Так происходит при механическом запоминании; проверяйте знак по правилу «разность — плюс, сумма — минус».
Вторая ошибка — потерять или изменить знак перед произведением синусов при раскрытии скобок. Причина обычно в спешке; после записи формулы отдельно сравните выражение в скобках с α + β или α − β.
Третья ошибка — применить формулу синуса вместо формулы косинуса. Перед вычислением посмотрите на левую часть: если стоит cos, в правой части должны быть произведения косинусов и синусов по формуле косинуса.
Четвёртая ошибка — считать формулы верными только для острых углов. Это ограничение лишнее: тождества действуют для любых углов, а проверить себя можно подстановкой отрицательного или тупого угла.
Перед изучением темы нужны определения синуса и косинуса, табличные значения для основных углов и правила знаков функций по четвертям. Полезно помнить чётность косинуса и нечётность синуса: cos(−β) = cos β, sin(−β) = −sin β. Новые формулы применяются при преобразовании выражений, вычислении значений функций и выводе формул двойного угла.
Как запомнить, где в формулах стоит плюс, а где минус?
Знак в формуле противоположен знаку между углами: cos(α − β) содержит плюс, а cos(α + β) — минус. Удобно запомнить правило: «разность — плюс, сумма — минус».
Почему у косинуса суммы знак перед произведением синусов отрицательный?
Сумму α + β можно представить как α − (−β). При подстановке в формулу разности используется sin(−β) = −sin β, поэтому произведение синусов получает знак минус.
Можно ли применять эти формулы к углам больше 90°?
Да. Формулы являются тождествами и верны для любых углов, в том числе тупых, отрицательных и превышающих 360°. Нужно только учитывать знаки синуса и косинуса в соответствующей четверти.
Как найти косинус 15° с помощью формулы косинуса разности?
Представьте 15° как 45° − 30°. Затем используйте формулу cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β и подставьте табличные значения.
Как получить формулу косинуса суммы из формулы косинуса разности?
В формуле разности замените β на −β: cos(α − (−β)) = cos α cos(−β) + sin α sin(−β). С учётом cos(−β) = cos β и sin(−β) = −sin β получится формула косинуса суммы.
1. Косинус разности и косинус суммы двух углов
