10.3*. Тангенс и котангенс угла

Определения и обозначения

Тангенс угла — отношение синуса угла к его косинусу: tg α = sin α / cos α. В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Такое определение удобно, когда известны синус и косинус или длины катетов и нужно получить одну величину из другой.

Котангенс угла — отношение косинуса угла к его синусу: ctg α = cos α / sin α. В прямоугольном треугольнике это отношение прилежащего катета к противолежащему. Оно помогает работать с теми же сторонами, что и тангенс, но в обратном порядке.

Функция тангенса записывается как y = tg x и определена для тех x, при которых cos x ≠ 0. Значит, нельзя подставлять углы, где знаменатель формулы равен нулю. Это условие понадобится при поиске области определения и проверке решений уравнений.

Функция котангенса записывается как y = ctg x и определена при sin x ≠ 0. Иными словами, исключаются углы, синус которых равен нулю. Условие области определения нужно проверять до вычислений, чтобы случайно не делить на нуль.

Как это устроено

Определения через катеты следуют из определений синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике. Если противолежащий катет равен a, прилежащий — b, а гипотенуза — c, то sin α = a / c, cos α = b / c. Деление этих отношений даёт sin α / cos α = a / b, то есть tg α; для обратного отношения получаем ctg α = b / a.

Тангенс не определён при x = π/2 + πk, потому что в этих точках cos x = 0, а формула тангенса требует деления на косинус. Котангенс не определён при x = πk: там sin x = 0 и знаменатель его формулы обращается в нуль. Здесь k — любое целое число; такие значения нужно исключать из области определения и из ответов уравнений.

Если обе функции определены, то tg x · ctg x = (sin x / cos x) · (cos x / sin x) = 1: числители и знаменатели сокращаются. Также из sin² x + cos² x = 1, если разделить всё равенство на cos² x, получается 1 + tg² x = 1 / cos² x. Делить можно только при cos x ≠ 0, как и требует область определения тангенса.

При сдвиге аргумента на π синус и косинус одновременно меняют знак: sin(x + π) = −sin x и cos(x + π) = −cos x. В их отношении два минуса сокращаются, поэтому tg(x + π) = tg x; то же верно для котангенса. Значит, обе функции повторяют значения через π, и их период равен π.

Нули тангенса появляются там, где sin x = 0, а косинус не равен нулю; нули котангенса — там, где cos x = 0, а синус не равен нулю. При приближении к исключённым точкам знаменатель стремится к нулю, поэтому значения функции неограниченно растут по модулю: такие прямые называют вертикальными асимптотами. На каждом промежутке между соседними асимптотами тангенс возрастает, а котангенс убывает.

Основные свойства тангенса и котангенса

В таблице k обозначает любое целое число, а круглые скобки у промежутков показывают, что их концы не входят в промежуток. Для решения задач сначала проверяй область определения, затем выбирай строку с нужным свойством. Например, период позволяет переносить найденные решения на π, а строка о монотонности помогает сравнивать значения на одном промежутке.

Разбор задач

Вычислить tg(5π/6) и ctg(3π/4)

Сначала определим опорные углы: это острые углы, с которыми связаны данные значения. Затем используем табличные значения и знак функции в четверти. Угол 5π/6 лежит во II четверти, а 3π/4 — тоже во II, где синус положителен, а косинус отрицателен.

1. Опорный угол для 5π/6 равен π/6. Поэтому tg(5π/6) = −tg(π/6) = −1/√3 = −√3/3.
2. Для 3π/4 опорный угол равен π/4. ctg(3π/4) = cos(3π/4) / sin(3π/4) = (−√2/2) / (√2/2) = −1.

В обоих случаях знак отрицательный, что совпадает со знаками синуса и косинуса во II четверти. Ответ: tg(5π/6) = −√3/3; ctg(3π/4) = −1.

Решить уравнение tg x = −1 на отрезке [0; 2π]

Нужно найти углы, тангенс которых равен −1, а затем оставить только те, что лежат на заданном отрезке. Табличное значение tg(−π/4) = −1 даёт одно решение, а периодичность добавляет к нему целые кратные π. После этого проверим границы отрезка.

1. Записываем общую серию: x = −π/4 + πk, где k ∈ Z.
2. Подбираем целые k так, чтобы 0 ≤ −π/4 + πk ≤ 2π. Подходят k = 1 и k = 2.
3. Получаем x = 3π/4 и x = 7π/4. Других значений серии на отрезке нет.

Точки разрыва тангенса решениями быть не могут, но найденные углы в них не попадают. Ответ: 3π/4; 7π/4.

Решить уравнение tg x + ctg x = 4

Обе функции присутствуют в уравнении, поэтому прежде всего учитываем, что они должны быть определены одновременно: sin x ≠ 0 и cos x ≠ 0. Обозначим tg x через t; тогда ctg x = 1 / t, причём t ≠ 0. Так уравнение превращается в алгебраическое, а его корни затем переводятся обратно в значения x.

1. Записываем t + 1/t = 4 и умножаем на t: t² − 4t + 1 = 0.
2. Решаем квадратное уравнение: t = (4 ± √12) / 2 = 2 ± √3. Оба корня ненулевые, значит, оба допустимы для подстановки.
3. Для каждого корня записываем общие решения: x = arctg(2 + √3) + πk или x = arctg(2 − √3) + πk, k ∈ Z. Здесь arctg обозначает угол, тангенс которого равен указанному числу.
4. Полученные значения тангенса не равны нулю, а соответствующие углы не являются точками разрыва котангенса. Поэтому дополнительных исключений нет.

Ответ: x = arctg(2 + √3) + πk или x = arctg(2 − √3) + πk, k ∈ Z.

Типичные ошибки

Первая ошибка — записать tg x = cos x / sin x, а ctg x = sin x / cos x, то есть поменять функции местами. Так происходит из-за того, что обе формулы выглядят похоже; проверяй порядок: тангенс — синус делить на косинус. В прямоугольном треугольнике этому соответствует противолежащий катет, делённый на прилежащий.

Вторая ошибка — включить в область определения точки, где знаменатель равен нулю. Их иногда пропускают, если сразу подставляют формулу или решают уравнение; выпиши условие cos x ≠ 0 для тангенса и sin x ≠ 0 для котангенса. В конце решения подставь найденные значения в эти ограничения.

Третья ошибка — считать, что период обеих функций равен 2π, как у синуса и косинуса. Но при сдвиге на π числитель и знаменатель меняют знаки вместе, поэтому отношение повторяется раньше. Проверка проста: подставь x + π в формулу и сократи два минуса.

Четвёртая ошибка — определять знак только по синусу или только по косинусу. Тангенс и котангенс зависят от отношения обеих величин, поэтому сравнивай их знаки: одинаковые дают плюс, разные — минус. Проверь четверть: обе функции положительны в I и III, отрицательны во II и IV.

Связь с другими темами

Для изучения тангенса и котангенса нужны определения синуса и косинуса, единичная окружность, табличные значения и знаки тригонометрических функций по четвертям. Эти знания позволяют вычислять значения и следить за допустимостью углов. Новые функции пригодятся при решении тригонометрических уравнений и неравенств. Их свойства также используют при изучении графиков, преобразовании выражений и дальнейшей тригонометрии.

Что запомнить

• tg x = sin x / cos x, а ctg x = cos x / sin x.
• Тангенс не определён при x = π/2 + πk.
• Котангенс не определён при x = πk.
• Обе функции имеют период π.
• Область значений тангенса и котангенса — все действительные числа.
• Тангенс возрастает, а котангенс убывает на каждом промежутке определения.
• При допустимых значениях x выполняется tg x · ctg x = 1.