10.2*. Основные формулы для sin а и cos a

Определения и обозначения

Основное тригонометрическое тождество — равенство sin² a + cos² a = 1, связывающее синус и косинус одного угла. Оно позволяет найти один показатель, если известен другой. Квадраты показывают, что сначала определяется квадрат значения, а знак затем выбирается по положению угла.

Чётная функция сохраняет значение при замене аргумента a на −a. Для косинуса это записывают так: cos(−a) = cos a. Такое свойство помогает упрощать выражения с противоположными углами.

Нечётная функция меняет знак при замене аргумента на противоположный. Поэтому sin(−a) = −sin a. Формула особенно полезна, когда отрицательный угол встречается внутри сложного выражения.

Формулы сдвига аргумента связывают значения синуса и косинуса углов, отличающихся на π, π/2 или −π/2. Они позволяют заменить неудобный угол знакомым и определить, какой показатель меняет знак или превращается в другой. Основанием формул служит движение точки по единичной окружности.

Как это устроено

Возьмём единичную окружность с центром в начале координат и точку, полученную поворотом радиуса на угол a. Её абсцисса равна cos a, а ордината — sin a. Радиус имеет длину 1, поэтому теорема Пифагора даёт cos² a + sin² a = 1.

При замене a на −a точка отражается относительно оси косинусов, то есть оси Ox. Расстояние до этой оси не меняется, поэтому абсцисса сохраняется, а ордината меняет знак. Отсюда следуют равенства cos(−a) = cos a и sin(−a) = −sin a.

Поворот на π переносит точку в противоположную точку окружности. Обе координаты новой точки противоположны исходным, поэтому одновременно меняются знаки синуса и косинуса. Так получаем sin(π + a) = −sin a и cos(π + a) = −cos a.

Угол π − a соответствует отражению исходной точки относительно оси синусов, то есть оси Oy. Ордината остаётся прежней, а абсцисса становится противоположной, поэтому sin(π − a) = sin a и cos(π − a) = −cos a. По этой причине во второй четверти синус положителен, а косинус отрицателен.

Поворот на π/2 меняет направления координатных осей местами. Поэтому вертикальная координата точки для угла π/2 − a совпадает с прежней горизонтальной координатой, а горизонтальная — с прежней вертикальной. Отсюда sin(π/2 − a) = cos a и cos(π/2 − a) = sin a; знак конкретного результата всё равно проверяют по четверти.

Основные формулы для синуса и косинуса

Пользуйтесь таблицей как алгоритмом: сначала узнайте, какой сдвиг есть в аргументе, затем замените функцию по соответствующей строке. После преобразования проверьте знак результата по четверти угла. Если найдено числовое значение, его можно дополнительно проверить основным тождеством.

Разбор задач

Задача 1

Докажите, что для любого угла a выполняется равенство sin² a + cos² a = 1. Нужно связать тригонометрические функции с геометрией, а не подбирать отдельные значения угла. Единичная окружность подходит для любого направления радиуса.

1. Пусть точка окружности имеет координаты (cos a; sin a).
2. Радиус окружности равен 1, поэтому по теореме Пифагора cos² a + sin² a = 1².
3. Так как 1² = 1, переставляем слагаемые и получаем sin² a + cos² a = 1.

Ответ: равенство доказано для любого угла a.

Задача 2

Найдите cos a, если sin a = 3/5 и угол a лежит во второй четверти. Сначала найдём квадрат косинуса, а затем определим знак. Во второй четверти косинус отрицателен.

1. Подставляем значение синуса в тождество: cos² a = 1 − (3/5)² = 1 − 9/25 = 16/25.
2. Извлекаем корень с двумя возможными знаками: cos a = ±4/5.
3. Выбираем отрицательное значение, потому что во второй четверти абсцисса точки отрицательна.
4. Проверка: (3/5)² + (−4/5)² = 9/25 + 16/25 = 1.

Ответ: cos a = −4/5.

Задача 3

Упростите выражение sin(π − a) + cos(π + a) − sin(−a). Здесь встречаются три формулы, поэтому заменяем каждое слагаемое отдельно. После замены знаки нужно раскрыть внимательно.

1. sin(π − a) = sin a, cos(π + a) = −cos a, а sin(−a) = −sin a.
2. Подставляем: sin a − cos a − (−sin a).
3. Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: 2sin a − cos a.

Ответ: 2sin a − cos a.

Типичные ошибки

Ошибка: записать cos(−a) = −cos a. Её допускают, когда запоминают общее правило о смене знака, не различая чётную и нечётную функции. Проверьте себя на a = 0: cos 0 = 1, поэтому равенство с минусом невозможно.

Ошибка: из тождества сразу получить cos a = √(1 − sin² a). Корень даёт только положительное значение, хотя косинус во второй и третьей четвертях отрицателен. Записывайте сначала cos a = ±√(1 − sin² a), а знак выбирайте по четверти.

Ошибка: неверно расставить знаки в формулах для π − a и π + a. При π − a меняется только косинус, а при π + a меняются обе координаты. Для проверки представьте отражение или поворот точки на единичной окружности.

Ошибка: перепутать формулы sin(π/2 − a) = cos a и cos(π/2 − a) = sin a. Причина — механическое запоминание без связи с координатами. Подставьте a = 0: получаются sin(π/2) = 1 и cos(π/2) = 0, что сразу показывает правильный порядок.

Связь с другими темами

До изучения формул нужны единичная окружность, координатное определение синуса и косинуса, понятие четвертей и теорема Пифагора. Без этих представлений формулы легко превратить в набор правил, которые трудно восстановить.

Формулы пригодятся при преобразовании тригонометрических выражений и вычислении значений. Позже они помогут изучать формулы приведения, а также решать тригонометрические уравнения, где знак и четверть часто определяют ответ.

Что запомнить

• sin² a + cos² a = 1.
• Синус — нечётная функция: sin(−a) = −sin a.
• Косинус — чётная функция: cos(−a) = cos a.
• При переходе от a к π + a знаки синуса и косинуса меняются.
• sin(π − a) = sin a, а cos(π − a) = −cos a.
• Сдвиг на π/2 меняет синус и косинус местами.
• Знак результата нужно определять с учётом четверти угла.