"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Формулы суммы и разности позволяют находить синус и косинус сложного угла через значения функций двух более простых углов. Из них подстановкой получают формулы двойного угла. Эти равенства нужны для точных вычислений, упрощения тригонометрических выражений и решения уравнений. Главное — правильно запомнить порядок множителей и знаки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формула синуса суммы: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. Синус каждого угла умножается на косинус другого, а затем произведения складываются. Она позволяет вычислить синус сложного угла через значения функций α и β.
Формула косинуса суммы: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. Первое произведение составляют косинусы, второе — синусы, и между ними стоит знак минус. Эта запись нужна, чтобы находить косинус суммы двух углов.
Формулы разности имеют вид: sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β и cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. Для синуса появляется минус, а для косинуса — плюс. С их помощью удобно работать с углами, заданными как разность известных углов.
Формулы двойного угла получают при равенстве углов: sin 2α = 2 sin α cos α и cos 2α = cos² α − sin² α. Аргумент 2α означает удвоенный угол, а не квадрат значения функции. Эти формулы сокращают выражения, в которых встречаются синус и косинус одного угла.
На единичной окружности точке, соответствующей углу α, ставят в соответствие координаты (cos α; sin α). При повороте на угол β координаты точки меняются по правилам поворота плоскости. Поэтому координаты после двух поворотов, на α и β, должны совпадать с координатами после одного поворота на α + β, что и приводит к формулам суммы.
В формуле синуса суммы оба слагаемых имеют знак плюс: sin α умножается на cos β, а cos α — на sin β. В формуле косинуса суммы сначала перемножаются косинусы, затем из этого результата вычитается произведение синусов. Такое расположение связано с тем, как при повороте смешиваются горизонтальная и вертикальная координаты.
Чтобы получить разность, записывают α − β как α + (−β). Затем используют sin(−β) = −sin β и cos(−β) = cos β: синус меняет знак, а косинус остаётся прежним. Поэтому из формулы синуса суммы получается знак минус, а из формулы косинуса суммы — знак плюс перед произведением синусов.
Для двойного угла в формуле суммы берут β = α. В синусе два одинаковых произведения складываются, поэтому получается 2 sin α cos α, а в косинусе остаётся разность cos² α − sin² α. Равенства можно записывать в обе стороны: например, 2 sin α cos α = sin 2α.
При вычислениях сначала представляют нестандартный угол как сумму или разность табличных углов, а затем выбирают формулу нужной функции. При упрощении выражения, наоборот, ищут знакомые части: 2 sin x cos x заменяют на sin 2x, а cos² x − sin² x — на cos 2x. Такой поиск превращает громоздкую запись в более короткую и понятную.
| Название | Формула |
|---|---|
| Синус суммы | sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β |
| Косинус суммы | cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β |
| Синус разности | sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β |
| Косинус разности | cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β |
| Синус двойного угла | sin 2α = 2 sin α cos α |
| Косинус двойного угла | cos 2α = cos² α − sin² α |
Таблицу удобно использовать после представления угла в нужном виде: сумма, разность или двойной угол. Сначала определите функцию и структуру аргумента, затем перепишите соответствующую формулу. В конце подставьте известные значения и аккуратно выполните действия.
Угол 75° удобно разложить на два табличных угла: 75° = 45° + 30°. Значит, нужна формула синуса суммы. Все значения в ней известны из таблицы основных углов.
Ответ: sin 75° = (√6 + √2)/4.
Здесь 15° = 45° − 30°, поэтому подходит формула косинуса разности. В ней перед произведением синусов стоит плюс, хотя в формуле косинуса суммы был минус.
Ответ: cos 15° = (√6 + √2)/4.
Обе части выражения совпадают с формулами двойного угла. Поэтому не нужно раскрывать скобки или искать общий множитель: достаточно заменить каждую часть соответствующим значением.
Ответ: sin 2x + cos 2x.
Меняют местами знаки в формулах суммы: пишут минус у синуса или плюс у косинуса. Так происходит из-за внешнего сходства двух равенств. Проверьте себя по правилу: у синуса суммы плюс, у косинуса суммы минус.
Считают, что в формулах разности знаки такие же, как в формулах суммы. Ошибка возникает, если не учитывать противоположный угол. Представьте разность как α + (−β) и выведите знак заново.
Забывают свойства cos(−β) = cos β и sin(−β) = −sin β. Из-за этого оба знака могут изменить неправильно или не измениться вовсе. Перед преобразованием отдельно запишите, что происходит с каждой функцией.
Подставляют в формулу двойного угла sin 2α или cos 2α вместо удвоения аргумента исходных функций. Например, 2 sin α cos α нужно заменить на sin 2α, а не на sin² α. Проверьте, что двойка относится к углу, а не означает квадрат значения.
До изучения формул нужны свойства функций противоположных углов и точные значения синуса и косинуса основных углов. Без них невозможно корректно вывести формулы разности и выполнить вычисления с углами 30°, 45° и 60°.
Формулы применяются в тождественных преобразованиях и при вычислении точных значений. Позже они помогут преобразовывать тригонометрические уравнения и сводить сложные аргументы к более простым.
Как запомнить, где в формулах суммы синусов и косинусов стоит минус?
В формуле синуса суммы между слагаемыми стоит плюс: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. В формуле косинуса суммы стоит минус: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β.
Почему при переходе от суммы к разности меняются знаки?
Разность представляют как сумму с противоположным углом: α − β = α + (−β). Затем используют sin(−β) = −sin β и cos(−β) = cos β, поэтому один знак меняется, а другой сохраняется.
Как вывести формулы разности из формул суммы?
В формулах суммы нужно заменить β на −β. После этого применяют свойства синуса и косинуса противоположного угла и упрощают выражение.
Как получить формулу двойного угла?
В формулы суммы подставляют β = α. Тогда α + β = 2α, поэтому sin 2α = 2 sin α cos α, а cos 2α = cos² α − sin² α.
Как выбрать формулу, чтобы вычислить синус или косинус нестандартного угла?
Представьте угол как сумму или разность известных углов, например 75° = 45° + 30° или 15° = 45° − 30°. Затем выберите формулу нужной функции и подставьте табличные значения.
7.4. Основные формулы для sin а и cos a
