7.5. Арксинус

Определения и обозначения

Арксинус числа a — это значение угла из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен a. Обозначают арксинус так: arcsin a. Такое ограничение позволяет выбрать один угол, а не все углы с одинаковым синусом.

Область определения функции y = arcsin x — отрезок [−1; 1]. Это все допустимые значения аргумента x, то есть числа, которые могут стоять после знака arcsin. Для других чисел арксинус в действительных числах не существует.

Множество значений функции y = arcsin x — отрезок [−π/2; π/2]. Именно в нём лежит результат вычисления арксинуса. Поэтому по найденному значению сразу можно понять, что выбран главный, или основной, угол.

Главное значение арксинуса — единственный угол из [−π/2; π/2], соответствующий заданному значению синуса. Термин «главное» нужен потому, что уравнение sin y = a обычно имеет бесконечно много решений. Арксинус выбирает среди них только одно.

Как это устроено

Синус на всей числовой прямой не является взаимно однозначной функцией: разные углы могут иметь один и тот же синус. Например, синус углов π/6 и 5π/6 одинаков. Поэтому на всей числовой прямой нельзя просто определить обратную функцию, которая каждому значению синуса сопоставляла бы один угол.

Для построения обратной функции синус ограничивают отрезком [−π/2; π/2]. На этом отрезке он строго возрастает, потому что при увеличении угла значение синуса тоже увеличивается. Кроме того, на концах отрезка синус равен −1 и 1, значит, внутри он принимает каждое значение от −1 до 1.

Из этих свойств следует: каждому числу x ∈ [−1; 1] соответствует ровно один угол y ∈ [−π/2; π/2]. Поэтому равенство y = arcsin x означает сразу два условия: sin y = x и y принадлежит выбранному отрезку. Второе условие как раз устраняет неоднозначность.

Из определения легко получить основные значения. Так как sin(−π/2) = −1, sin 0 = 0 и sin(π/2) = 1, то arcsin(−1) = −π/2, arcsin(0) = 0 и arcsin(1) = π/2. Симметрия синуса относительно начала координат приводит к формуле arcsin(−x) = −arcsin x.

График арксинуса получают отражением графика y = sin x, взятого на отрезке [−π/2; π/2], относительно прямой y = x. При таком отражении координаты точки меняются местами: (t; sin t) переходит в (sin t; t). Поскольку синус на исходном отрезке возрастает, арксинус также возрастает на всей области определения.

Основные свойства функции y = arcsin x

Таблицу удобно использовать как проверочный список перед вычислениями. Сначала проверьте, входит ли аргумент в область определения, а затем вспомните диапазон возможного ответа. Свойства нечётности и возрастания помогают быстро сравнивать значения и упрощать выражения.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить arcsin(1/2)

Нужно найти угол из [−π/2; π/2], синус которого равен 1/2. Среди известных углов такой синус имеет угол π/6, и он принадлежит требуемому отрезку. Значит, этот угол и будет главным значением арксинуса.

1. Проверяем допустимость аргумента: 1/2 ∈ [−1; 1].
2. Вспоминаем значение синуса: sin(π/6) = 1/2.
3. Проверяем выбор угла: π/6 ∈ [−π/2; π/2].

Ответ: arcsin(1/2) = π/6.

Задача 2. Решить уравнение sin x = −√3/2 при x ∈ [−π/2; π/2]

Ограничение на x совпадает с отрезком, где синус имеет обратную функцию. Поэтому можно применить арксинус к обеим частям и получить единственное решение. Знак минус подсказывает, что угол будет отрицательным.

1. Записываем x = arcsin(−√3/2).
2. Так как sin(π/3) = √3/2, по нечётности арксинуса получаем arcsin(−√3/2) = −π/3.
3. Проверяем принадлежность: −π/3 находится между −π/2 и π/2.

Ответ: x = −π/3.

Задача 3. Упростить выражение arcsin(sin(5π/6))

Нельзя сразу сократить arcsin и sin, потому что угол 5π/6 не принадлежит [−π/2; π/2]. Сначала вычислим синус, а затем найдём главное значение арксинуса. Это показывает, почему обратные функции нельзя механически сокращать на всей числовой прямой.

1. Находим синус: sin(5π/6) = 1/2.
2. Получаем выражение arcsin(1/2).
3. Используем известное значение из первой задачи: arcsin(1/2) = π/6.

Ответ: arcsin(sin(5π/6)) = π/6.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что arcsin x определён при любом x. Её допускают, забывая, что синус не бывает больше 1 по модулю. Перед вычислением проверьте условие −1 ≤ x ≤ 1.

Ошибка: записывать arcsin(sin α) = α для любого α. Причина в механическом представлении об обратных функциях без учёта ограничения на угол. Проверьте, принадлежит ли α отрезку [−π/2; π/2]; только тогда равенство верно.

Ошибка: путать арксинус с множеством решений уравнения sin y = x. Арксинус даёт одно главное значение, а общее уравнение может иметь бесконечно много решений. Если требуется решить уравнение, внимательно учитывайте заданный промежуток или записывайте общую формулу.

Ошибка: называть [−1; 1] областью значений арксинуса. Этот отрезок является областью определения, а результат функции лежит в [−π/2; π/2]. Проверить себя можно по единицам: аргумент — значение синуса, результат — угол.

Связь с другими темами

До изучения арксинуса нужно знать значения синуса, его область значений и поведение на отрезке [−π/2; π/2]. Особенно важно понимать, почему на этом отрезке синус возрастает: именно это делает обратную функцию однозначной. График синуса помогает увидеть, откуда появляется график арксинуса.

Арксинус применяется при решении тригонометрических уравнений и неравенств, когда известен синус угла. Он также связан с другими обратными тригонометрическими функциями, например арккосинусом и арктангенсом. Во всех таких задачах нужно учитывать область определения и диапазон главного значения.

Что запомнить

• arcsin x существует только при −1 ≤ x ≤ 1.
• Значение arcsin x всегда принадлежит [−π/2; π/2].
• sin(arcsin x) = x для x ∈ [−1; 1].
• arcsin(sin α) = α только при α ∈ [−π/2; π/2].
• Функция y = arcsin x возрастает и является нечётной.
• arcsin(0) = 0, arcsin(1) = π/2, arcsin(−1) = −π/2.