7.6. Арккосинус

Определения и обозначения

Арккосинус числа x — это угол из отрезка [0; π], косинус которого равен x. Обозначают арккосинус так: arccos x. Например, arccos 0 = π/2, потому что cos(π/2) = 0.

Функция арккосинуса записывается как y = arccos x. Она каждому числу x из [−1; 1] ставит в соответствие единственный угол y из [0; π], для которого cos y = x. Это обратное соответствие помогает находить угол, если известно значение его косинуса.

Область определения арккосинуса — отрезок [−1; 1]. Причина в том, что косинус действительного угла принимает значения только от −1 до 1. Поэтому под знаком arccos нельзя записывать число, например 2 или −3.

Множество значений функции арккосинуса — отрезок [0; π]. Именно из него выбирают результат, чтобы для каждого допустимого x существовало только одно значение арккосинуса. Такое ограничение делает функцию однозначной.

Как это устроено

У косинуса много углов с одним и тем же значением: например, cos 0 = cos 2π = 1. Чтобы обратное соответствие было функцией, угол ограничивают отрезком [0; π]. На нём косинус непрерывно проходит все значения от 1 до −1 и каждое значение встречается ровно один раз.

График y = arccos x строят из части графика y = cos x, соответствующей углам 0 ≤ x ≤ π. Для обратных функций координаты точек меняются местами, поэтому выбранную часть отражают относительно прямой y = x. Точка (0; 1) графика косинуса переходит в точку (1; 0) графика арккосинуса, а точка (π; −1) — в (−1; π).

Функция арккосинуса убывает, потому что при увеличении угла от 0 до π косинус уменьшается от 1 до −1. Обратное соответствие сохраняет этот порядок в обратном направлении: большему значению x отвечает меньший угол. Например, arccos 0 = π/2, а arccos(1/2) = π/3.

Проверить найденное значение можно двумя условиями. Если y = arccos x, то обязательно cos y = x, а сам угол должен принадлежать отрезку [0; π]. Одной проверки косинуса недостаточно, поскольку у разных углов могут быть одинаковые косинусы.

Для противоположных чисел используется формула arccos(−x) = π − arccos x. Пусть y = arccos x, тогда cos y = x. По формуле cos(π − y) = −cos y получаем cos(π − y) = −x; угол π − y также лежит в [0; π], значит, он и есть arccos(−x).

Основные свойства функции y = arccos x

Таблица помогает быстро проверить, допустимо ли значение под знаком арккосинуса и в каких пределах может находиться ответ. При вычислениях сначала находят знакомый угол из [0; π], а затем при необходимости используют формулу для противоположного аргумента.

Разбор задач

Задача 1. Найти arccos(1/2), arccos(−1) и arccos 0. Нужно вспомнить значения косинуса стандартных углов и выбрать углы только из [0; π].

1. Так как cos(π/3) = 1/2 и π/3 принадлежит [0; π], получаем arccos(1/2) = π/3.
2. Поскольку cos π = −1, имеем arccos(−1) = π.
3. Поскольку cos(π/2) = 0, имеем arccos 0 = π/2.

Ответ: π/3, π, π/2 соответственно.

Задача 2. Вычислить arccos(cos(5π/3)). Угол 5π/3 не принадлежит отрезку [0; π], поэтому нельзя сразу убрать знаки arccos и cos. Сначала найдём угол из нужного отрезка с тем же косинусом.

1. Используем формулу cos(2π − α) = cos α: cos(5π/3) = cos(π/3) = 1/2.
2. Теперь нужно вычислить arccos(1/2), а это значение равно π/3.
3. Полученный ответ принадлежит [0; π], поэтому ограничение на результат выполнено.

Ответ: π/3.

Задача 3. Решить уравнение arccos(2x − 1) = π/3. Арккосинус равен π/3 тогда и только тогда, когда его аргумент равен cos(π/3), но аргумент также должен быть допустимым.

1. Применяем косинус к обеим частям: 2x − 1 = cos(π/3) = 1/2.
2. Решаем линейное уравнение: 2x = 3/2, поэтому x = 3/4.
3. Проверяем область определения: 2x − 1 = 1/2 принадлежит [−1; 1], значит, выражение определено.

Ответ: x = 3/4.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Иногда считают, что arccos x может давать любой угол. Так происходит из-за периодичности косинуса, но по определению результат всегда лежит в [0; π]. Проверяйте ответ по этому отрезку.

Ошибка 2. В арккосинус подставляют число вне [−1; 1]. Такое возможно при невнимательном решении выражения или уравнения. Сначала проверьте аргумент: если он не принадлежит допустимому отрезку, действительного значения нет.

Ошибка 3. Записывают arccos(cos α) = α при любом α. Равенство верно только для α ∈ [0; π], потому что арккосинус возвращает главный угол именно из этого отрезка. Для проверки найдите угол из [0; π] с тем же косинусом.

Ошибка 4. Арккосинус путают с обратной величиной 1/cos x. Причина — слово «обратная», хотя речь идёт об обратной функции, а не о дроби. Смотрите на результат: arccos x — угол, а 1/cos x — числовое значение.

Связь с другими темами

До изучения арккосинуса нужно знать значения косинуса, его область значений и поведение на отрезке [0; π]. Эти сведения объясняют, почему арккосинус определён только на [−1; 1] и почему его значения выбирают из [0; π].

Арккосинус применяют при решении тригонометрических уравнений и неравенств, когда требуется восстановить угол по известному косинусу. Он также используется в задачах на нахождение угла по длинам сторон или другим данным, связанным с косинусом.

Что запомнить

• arccos x — угол y из [0; π], для которого cos y = x.
• Область определения: [−1; 1].
• Множество значений: [0; π].
• Функция y = arccos x убывает.
• arccos 1 = 0, arccos 0 = π/2, arccos(−1) = π.
• arccos(−x) = π − arccos x.