"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Арксинус и арккосинус помогают найти угол, если известно значение его синуса или косинуса. Поскольку синус и косинус повторяются, каждому такому значению соответствуют разные углы. Поэтому для обратных функций заранее выбирают промежутки, на которых угол определяется однозначно: отрезок [−π/2; π/2] для арксинуса и [0; π] для арккосинуса. Чтобы получить все решения уравнения, найденное главное значение дополняют с учётом периодичности.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арксинус числа a, обозначаемый arcsin a, — это угол из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен a. Он существует, только если |a| ≤ 1, потому что синус не принимает значений за пределами отрезка [−1; 1]. Это обозначение позволяет перейти от известного значения синуса к одному выбранному углу.
Арккосинус числа a, обозначаемый arccos a, — угол из отрезка [0; π], косинус которого равен a. Он определён при |a| ≤ 1, так как косинус тоже принимает значения только от −1 до 1. Арккосинус нужен, чтобы по значению косинуса определить угол в заданном промежутке.
Главное значение обратной тригонометрической функции — тот угол из заранее выбранного промежутка, который соответствует числу a. Например, если синус одного числа имеют несколько углов, arcsin выбирает из них только значение в [−π/2; π/2]. Благодаря этому каждому допустимому аргументу соответствует ровно один результат.
Решением уравнения sin x = a или cos x = a называют любой угол x, при котором соответствующая функция равна a. Значения arcsin a и arccos a дают главное решение для синуса и косинуса соответственно. Но уравнение может иметь и другие решения, поэтому при поиске всех корней учитывают периодичность тригонометрических функций.
Синус и косинус нельзя обратить на всей числовой прямой: они периодичны, то есть повторяют значения через определённые промежутки. Например, у углов x и x + 2π одинаковый синус и одинаковый косинус, поэтому по одному значению функции нельзя однозначно восстановить угол. Чтобы обратная функция возвращала один ответ, выбирают промежуток, на котором исходная функция принимает каждое своё значение лишь один раз.
Для синуса таким промежутком служит [−π/2; π/2]. На нём синус возрастает от −1 до 1, поэтому каждому допустимому числу a соответствует ровно один угол. Этот угол и есть arcsin a, а подстановка его в исходную функцию возвращает аргумент: sin(arcsin a) = a при |a| ≤ 1. Обратное утверждение работает не всегда: arcsin(sin x) возвращает результат внутри выбранного отрезка, а не обязательно исходное x.
Для косинуса выбирают отрезок [0; π]. На нём косинус убывает от 1 до −1, проходя каждое число из диапазона [−1; 1] ровно один раз. Поэтому arccos a однозначно задаёт угол из этого отрезка, и cos(arccos a) = a при |a| ≤ 1. Выбранные промежутки у арксинуса и арккосинуса разные, потому что нужно получить однозначную обратную функцию для каждой исходной функции.
В уравнении sin x = a арксинус даёт один удобный угол, но синус принимает то же значение и у другого угла в пределах периода. Если α = arcsin a, все решения имеют вид x = α + 2πk или x = π − α + 2πk, где k ∈ Z. Для косинуса, если β = arccos a, решения записываются как x = ±β + 2πk. На заданном отрезке из этих формул оставляют только подходящие значения.
Обратные функции помогают находить углы и в практических задачах. Например, в прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, поэтому угол можно выразить через arccos этого отношения. Сначала составляют отношение по условию, затем проверяют, что оно лежит в [−1; 1], и только после этого находят угол. Такая проверка нужна, чтобы вычисление соответствовало возможному значению косинуса.
| Что сравниваем | arcsin a | arccos a |
|---|---|---|
| Допустимые значения a | −1 ≤ a ≤ 1 | −1 ≤ a ≤ 1 |
| Промежуток значений | [−π/2; π/2] | [0; π] |
| Связь с исходной функцией | sin(arcsin a) = a | cos(arccos a) = a |
| Уравнение, для которого находится главное значение | sin x = a | cos x = a |
| Пример значения при a = 0 | arcsin 0 = 0 | arccos 0 = π/2 |
Таблица помогает быстро проверить, допустим ли аргумент, и понять, в каком промежутке искать главное значение. Сначала выберите столбец по исходной функции, затем проверьте значение a и промежуток результата. Если решаете уравнение, не считайте главное значение единственным корнем: отдельно учтите периодичность.
Задача 1. Найти arcsin(1/2) и arccos(1/2). Нужно подобрать углы, синус и косинус которых равны 1/2, и проверить, что каждый угол находится в промежутке значений соответствующей обратной функции.
Ответ: arcsin(1/2) = π/6, arccos(1/2) = π/3. Числа различаются, потому что речь идёт о разных функциях и разных промежутках главных значений.
Задача 2. Решить уравнение sin x = −√3/2 на отрезке [0; 2π]. Одного вычисления арксинуса недостаточно: нужно найти все углы данного отрезка, у которых синус равен заданному числу.
Ответ: x = 4π/3 или x = 5π/3. Главное значение −π/3 само не лежит на данном отрезке, поэтому его нельзя просто записать как ответ.
Задача 3. Лестница длиной 5 м прислонена к стене, а её нижний конец находится в 3 м от стены. Найти угол наклона лестницы к земле. Лестница, стена и земля образуют прямоугольный треугольник, а длина лестницы является гипотенузой.
Ответ: α = arccos(3/5) ≈ 53,1°.
Забывают проверить аргумент. Арксинус и арккосинус определены только при |a| ≤ 1, но при вычислениях это условие легко упустить. Если, например, под корнем или в дроби получилось число больше 1 по модулю, обратная функция не имеет действительного значения. Перед ответом сравните аргумент с границами −1 и 1.
Путают промежутки главных значений. Иногда считают, что арксинус всегда неотрицателен или что арккосинус может быть отрицательным. На самом деле arcsin a принадлежит [−π/2; π/2], а arccos a — [0; π]. Проверка принадлежности результата нужному промежутку помогает обнаружить такую ошибку.
Считают, что arcsin(sin x) всегда равно x. Это верно только тогда, когда x уже лежит в [−π/2; π/2]. За его пределами арксинус выбирает другой угол с тем же синусом, но из своего промежутка значений. Например, arcsin(sin 2π/3) = π/3, а не 2π/3.
Оставляют только главное значение при решении уравнения. Так теряют другие корни, поскольку синус и косинус периодичны и могут принимать одинаковые значения при разных углах. После нахождения arcsin a или arccos a запишите общие формулы корней либо переберите углы на заданном отрезке. В конце подставьте найденные значения в исходное уравнение.
Для работы с арксинусом и арккосинусом нужны табличные значения синуса и косинуса, их области значений и периодичность. Эти обратные функции помогают решать тригонометрические уравнения и находить угол прямоугольного треугольника по отношению сторон. Позже тот же подход пригодится при изучении других обратных тригонометрических функций. Он также применяется в геометрии и физике, когда по измеренным величинам нужно определить угол.
Почему арксинус и арккосинус имеют ограничения на аргумент?
Синус и косинус любого угла принимают значения только от −1 до 1. Поэтому числа вне этого промежутка не могут быть значениями этих функций, и арксинус с арккосинусом для них не определены.
Чем промежуток значений арксинуса отличается от промежутка значений арккосинуса?
Арксинус возвращает угол из [−π/2; π/2], а арккосинус — из [0; π]. Эти промежутки выбраны так, чтобы синус или косинус на них принимал каждое допустимое значение ровно один раз.
Как найти угол, если известно значение его синуса или косинуса?
Для синуса берут arcsin a, а для косинуса — arccos a, предварительно проверив, что |a| ≤ 1. Это главное значение; если нужно решить уравнение, следует также учесть остальные углы, возникающие из-за периодичности.
Почему arcsin(sin x) не всегда равно x?
Арксинус всегда возвращает угол только из [−π/2; π/2]. Если x лежит вне этого промежутка, arcsin(sin x) вернёт другой угол с тем же синусом, но уже внутри выбранного промежутка.
Как получить все решения уравнения sin x = a, если найдено значение arcsin a?
Обозначим α = arcsin a. Тогда все решения записываются так: x = α + 2πk или x = π − α + 2πk, где k ∈ Z. Если задан отрезок, из этих формул выбирают только попадающие на него значения.
7.7. Примеры использования арксинуса и арккосинуса
