"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Арксинус и арккосинус помогают найти угол по известному значению его синуса или косинуса. Чтобы такой угол определялся однозначно, для каждой обратной функции выбирают свой промежуток значений: от −π/2 до π/2 для арксинуса и от 0 до π для арккосинуса. Главные формулы позволяют менять знак аргумента и заменять одну аркфункцию другой. Они пригодятся при вычислении и упрощении выражений, а также при решении уравнений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арксинус числа x — угол из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен x; функция определена при x ∈ [−1; 1]. Запись arcsin x означает именно этот угол, а не любой угол с таким синусом. Ограничение помогает однозначно восстановить угол по значению синуса.
Арккосинус числа x — угол из отрезка [0; π], косинус которого равен x; его область определения — [−1; 1]. Запись arccos x указывает на единственный угол из выбранного промежутка. Благодаря этому можно работать с косинусом как с обратной функцией.
Главные значения арксинуса и арккосинуса — углы, принадлежащие указанным промежуткам. Синус и косинус могут принимать одно и то же значение у разных углов, поэтому без выбора главного значения обратная функция не была бы однозначной. Выбранный промежуток задаёт правило, какой угол считать ответом.
Формула связи арксинуса и арккосинуса утверждает, что при x ∈ [−1; 1] их значения в сумме дают π/2. Она позволяет заменить одну функцию другой, сохранив значение выражения. Это удобно, когда один из двух аркфункциональных углов вычислить проще.
Синус периодичен: одному значению, кроме некоторых особых случаев, соответствуют бесконечно многие углы. Чтобы обратное действие было функцией, оставляют только промежуток, на котором синус непрерывен и строго возрастает, — [−π/2; π/2]. На нём синус проходит весь диапазон [−1; 1], не повторяя значений. Поэтому каждому допустимому x соответствует ровно один угол arcsin x.
У косинуса тоже есть повторы, поэтому для определения обратной функции выбирают промежуток [0; π]. На нём косинус непрерывен и строго убывает от 1 до −1. Значит, он принимает каждое значение из [−1; 1] ровно один раз, и каждому такому числу соответствует единственный угол arccos x. Именно порядок углов на этом промежутке объясняет, почему арккосинус не ведёт себя как нечётная функция.
Чтобы получить связь двух аркфункций, положим t = arcsin x. Тогда t лежит в [−π/2; π/2], а sin t = x. Угол π/2 − t принадлежит [0; π], и cos(π/2 − t) = sin t = x. Значит, этот угол по определению равен arccos x, откуда arcsin x + arccos x = π/2. Пределы промежутков здесь важны: они подтверждают, что найденные углы являются именно главными значениями.
Синус нечётный, то есть sin(−t) = −sin t. Если t = arcsin x, то −t остаётся в промежутке [−π/2; π/2] и имеет синус −x. По единственности главного значения получаем arcsin(−x) = −arcsin x. Симметрия выбранного промежутка относительно нуля позволяет не менять определение арксинуса при переходе к противоположному аргументу.
Для арккосинуса используют равенство cos(π − t) = −cos t. Если t = arccos x, то π − t также лежит в [0; π], а его косинус равен −x; поэтому arccos(−x) = π − arccos x. Так можно менять отрицательный аргумент на положительный, но к результату нужно прибавить π и вычесть исходный арккосинус. Перед любой заменой проверь, что аргумент принадлежит [−1; 1]; формулы не расширяют область определения.
| Формула | Условие |
|---|---|
| arcsin(−x) = −arcsin x | x ∈ [−1; 1] |
| arccos(−x) = π − arccos x | x ∈ [−1; 1] |
| arcsin x + arccos x = π/2 | x ∈ [−1; 1] |
| arcsin x = π/2 − arccos x | x ∈ [−1; 1] |
| arccos x = π/2 − arcsin x | x ∈ [−1; 1] |
Сначала проверь, что аргумент находится в допустимом промежутке, и только потом выбирай формулу. Для отрицательного аргумента используй формулу нужной функции, а для замены арксинуса арккосинусом — равенство их суммы π/2. Не путай формулу для отрицательного аргумента арккосинуса с формулой нечётности.
Задача 1. Вычислите arcsin(−1/2), если arcsin(1/2) = π/6. Оба аргумента принадлежат [−1; 1], поэтому можно применить формулу для противоположного аргумента. Нужно сохранить знак, который появляется при подстановке.
Ответ: −π/6. Знак минус соответствует тому, что синус отрицательного угла противоположен синусу положительного.
Задача 2. Вычислите arccos(−√2/2), если arccos(√2/2) = π/4. Здесь аргумент отрицательный, поэтому подходит формула arccos(−x) = π − arccos x. Поскольку √2/2 принадлежит [−1; 1], формула применима.
Ответ: 3π/4. Результат лежит в промежутке значений арккосинуса [0; π], как и должен.
Задача 3. Упростите arcsin(3/5) + arccos(3/5) и укажите область допустимых значений. Одинаковые аргументы подсказывают применить формулу связи функций. Сначала проверим, допустимо ли число 3/5 для обеих аркфункций.
Ответ: π/2; для общего аргумента ОДЗ: x ∈ [−1; 1]. Проверка области определения обязательна: упрощение не делает выражение определённым при других значениях x.
Первая ошибка — применять формулы при x < −1 или x > 1. Такое бывает, когда условие области определения не проверяют после подстановки. Синус и косинус действительного угла не могут быть больше 1 или меньше −1, поэтому проверь, что аргумент каждой аркфункции лежит в [−1; 1].
Вторая ошибка — считать арксинус и арккосинус одинаковыми по поведению при смене знака. Арксинус нечётный, но арккосинус — нет, поскольку его значения лежат в [0; π], а не в симметричном относительно нуля промежутке. Для самопроверки сравни знак результата с допустимым промежутком значений соответствующей функции.
Третья ошибка — записывать arccos(−x) = −arccos x, перенося свойство арксинуса на другую функцию. Здесь легко забыть, что косинус чётный, а угол арккосинуса должен оставаться в [0; π]. Подставь, например, x = 1: верное значение arccos(−1) равно π, а ошибочная запись дала бы −0.
Четвёртая ошибка — забывать π в формуле arccos(−x) = π − arccos x или заменять π на π/2. Причина обычно в смешении этой формулы с равенством связи арксинуса и арккосинуса. Проверка на x = 1 помогает: arccos(−1) = π, тогда как π/2 − arccos 1 = π/2, что неверно.
Перед изучением формул полезно знать значения синуса и косинуса, их чётность и нечётность, а также формулы приведения. Эти свойства помогают объяснить, почему при смене знака аргумента меняется угол или его положение относительно π.
Понимание обратной функции объясняет, зачем синусу и косинусу выбирают ограниченные промежутки значений. На таких отрезках исходная функция принимает каждое значение из [−1; 1] один раз, и обратная функция определяет единственный угол.
Формулы арксинуса и арккосинуса применяют при упрощении выражений и решении уравнений с обратными тригонометрическими функциями. Умение проверять область определения помогает отсеивать недопустимые преобразования и ответы.
Почему арксинус и арккосинус определены только при аргументах от −1 до 1?
Синус и косинус любого угла принимают значения только от −1 до 1. Поэтому число вне этого промежутка не может быть синусом или косинусом действительного угла, и соответствующая аркфункция для него не определена.
Почему у арксинуса значения лежат в [−π/2; π/2], а у арккосинуса — в [0; π]?
На каждом из этих промежутков исходная функция проходит все значения от −1 до 1 и принимает каждое ровно один раз. Так обратная функция выбирает единственный угол, а не одно из нескольких возможных значений.
Почему arcsin(−x) меняет знак, а arccos(−x) — нет?
Синус нечётный: смена знака угла меняет знак синуса, поэтому arcsin(−x) = −arcsin x. Косинус при смене знака аргумента арккосинуса связан с отражением угла относительно π/2: arccos(−x) = π − arccos x.
Как найти арккосинус отрицательного числа?
Представь отрицательное число как −a, где a ≥ 0, и используй формулу arccos(−a) = π − arccos a. Например, arccos(−√2/2) = π − π/4 = 3π/4.
Можно ли заменить arcsin x на π/2 − arccos x при любом x?
Можно, если x ∈ [−1; 1], поскольку только на этом промежутке определены обе функции. Вне него выражение с арксинусом и арккосинусом не имеет действительного значения.
7.8. Формулы для арксинуса и арккосинуса
