§ 8. Тангенс и котангенс угла

Определения и обозначения

Тангенсом угла α называют отношение его синуса к косинусу: tg α = sin α / cos α, если cos α ≠ 0. Обозначение tg читают «тангенс». Смысл определения в том, что тангенс позволяет выразить отношение двух тригонометрических функций одним числом. Условие для косинуса необходимо, чтобы знаменатель дроби не оказался равен нулю.

Котангенсом угла α называют отношение косинуса к синусу: ctg α = cos α / sin α, если sin α ≠ 0. Обозначение ctg читают «котангенс». Здесь порядок синуса и косинуса обратен порядку в тангенсе. Котангенс нужен, чтобы описывать обратное отношение и переходить от него к тангенсу, когда обе функции определены.

Тангенс не определён при углах α = π/2 + πk, где k — целое число. Именно при таких углах косинус равен нулю, поэтому в дроби sin α / cos α знаменатель обращается в ноль. Для всех остальных углов тангенс определён. Проверка значения косинуса заранее помогает не выполнять недопустимое деление.

Котангенс не определён при углах α = πk, где k — целое число. В этих случаях синус равен нулю и дробь cos α / sin α не имеет смысла. Значит, область допустимых углов для котангенса определяется условием sin α ≠ 0. Это ограничение важно учитывать и при вычислениях, и при преобразовании выражений.

Как это устроено

Определения тангенса и котангенса — дроби из синуса и косинуса: tg α = sin α / cos α, ctg α = cos α / sin α. Дробь имеет смысл только при ненулевом знаменателе, поэтому для тангенса исключаются нули косинуса, а для котангенса — нули синуса. Так ограничения на функции следуют не из особого правила, а из обычного свойства деления. Перед вычислением дроби полезно проверить, не равен ли нулю её знаменатель.

Если обе функции определены, их можно перемножить по определениям: tg α · ctg α = (sin α / cos α) · (cos α / sin α) = 1. При сокращении синуса и косинуса каждый из них должен быть ненулевым. Поэтому равенство относится только к углам, для которых определены обе функции, то есть sin α ≠ 0 и cos α ≠ 0. Оно не означает, что можно подставлять в произведение значения функций, которых не существует.

Чтобы получить формулу для тангенса, разделим sin² α + cos² α = 1 на cos² α, предполагая cos α ≠ 0. Получим sin² α / cos² α + 1 = 1 / cos² α, то есть 1 + tg² α = 1 / cos² α. Для котангенса разделим то же тождество на sin² α, если sin α ≠ 0. Тогда cos² α / sin² α + 1 = 1 / sin² α, или 1 + ctg² α = 1 / sin² α.

Знак тангенса определяется знаками синуса и косинуса, потому что тангенс — их частное; у котангенса те же два числа стоят в обратном порядке, поэтому знак остаётся таким же. В I четверти синус и косинус положительны, в III — оба отрицательны, значит, их отношение положительно. Во II и IV четвертях знаки функций различаются, поэтому тангенс и котангенс отрицательны.

При добавлении π к углу синус и косинус меняют знак: sin(α + π) = −sin α, cos(α + π) = −cos α. В отношении для тангенса минусы сокращаются, и tg(α + π) = tg α. В отношении для котангенса происходит то же самое, поэтому ctg(α + π) = ctg α. Следовательно, период обеих функций равен π: их значения повторяются через этот промежуток.

Сравнение тангенса и котангенса угла

Таблица помогает быстро сравнить ограничения и свойства двух функций. Сначала проверьте, входит ли угол в область определения, затем найдите нужную строку: например, для знака учитывайте четверть, а для повторения значения — период π. Помните, что запись k ∈ Z означает, что k может быть любым целым числом.

Разбор задач

Найти tg α и ctg α, если α = π/4

Угол π/4 соответствует 45°, для него синус и косинус равны √2/2. Оба значения ненулевые, поэтому можно найти и тангенс, и котангенс. Используем определения и подставляем известные значения.

1. tg α = sin α / cos α = (√2/2) / (√2/2) = 1.
2. ctg α = cos α / sin α = (√2/2) / (√2/2) = 1.
3. Проверка: tg α · ctg α = 1 · 1 = 1, что согласуется с формулой взаимно обратных значений.

Ответ: tg α = 1, ctg α = 1.

Определить знак tg α и ctg α, если α лежит в III четверти

В III четверти и синус, и косинус отрицательны. Чтобы найти знак тангенса, делим отрицательное число на отрицательное; для котангенса делим косинус на синус — результат также положительный. Численные значения угла для определения знака не нужны.

1. Записываем знаки: sin α < 0 и cos α < 0.
2. По определению tg α = sin α / cos α, поэтому tg α > 0.
3. По определению ctg α = cos α / sin α, поэтому ctg α > 0.

Ответ: тангенс и котангенс положительны.

Найти tg α, если cos α = −3/5 и α лежит во II четверти, а затем определить ctg α

Сначала найдём синус с помощью sin² α + cos² α = 1. Во II четверти синус положителен, поэтому выбираем положительный корень. После этого определения функций дают нужные отношения, а ненулевые синус и косинус позволяют вычислить обе дроби.

1. sin² α = 1 − cos² α = 1 − 9/25 = 16/25, значит, sin α = 4/5.
2. tg α = sin α / cos α = (4/5) / (−3/5) = −4/3.
3. ctg α = cos α / sin α = (−3/5) / (4/5) = −3/4.

Ответ: tg α = −4/3, ctg α = −3/4. Оба значения отрицательны, как и должно быть во II четверти.

Типичные ошибки

Ошибка: записывать tg α = cos α / sin α, то есть менять местами синус и косинус. Так определён котангенс, и путаница возникает из-за похожих названий функций. Сверяйте формулу с правилом: тангенс — синус делить на косинус, котангенс — наоборот. Дополнительная проверка: их произведение равно 1, если обе функции существуют.

Ошибка: считать тангенс определённым при cos α = 0. В определении косинус стоит в знаменателе, а деление на ноль невозможно; иногда это ограничение упускают, если сразу подставляют значения. Проверяйте знаменатель до вычислений. При α = π/2 + πk тангенс не определён.

Ошибка: утверждать, что tg α · ctg α = 1 для любого угла. Равенство получено сокращением синуса и косинуса, а сокращать можно лишь ненулевые множители; к тому же сами функции должны существовать. Убедитесь, что sin α ≠ 0 и cos α ≠ 0. Если хотя бы одно из условий нарушено, произведение не определено.

Ошибка: считать, что период тангенса равен 2π. Такое предположение появляется, если смотреть только на период синуса и косинуса по отдельности. При прибавлении π обе функции меняют знак, но в их отношении два минуса сокращаются. Поэтому значение тангенса повторяется уже через π; тот же вывод верен для котангенса.

Связь с другими темами

Для работы с тангенсом и котангенсом нужны определения синуса и косинуса, их значения и знаки в координатных четвертях. Именно эти знания позволяют вычислять отношения и выбирать правильный знак при поиске неизвестной функции. Связь тангенса с синусом и косинусом помогает преобразовывать тригонометрические выражения и решать задачи. Позже эти функции понадобятся при изучении тригонометрических уравнений.

Что запомнить

• tg α = sin α / cos α, если cos α ≠ 0.
• ctg α = cos α / sin α, если sin α ≠ 0.
• tg α · ctg α = 1, когда обе функции определены.
• Период тангенса и котангенса равен π.
• Тангенс и котангенс имеют одинаковый знак в каждой четверти.
• Значение тангенса и котангенса зависит от угла с точностью до периода.