"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Тангенс и котангенс — тригонометрические функции, которые выражаются через синус и косинус: тангенс равен их отношению в одном порядке, котангенс — в обратном. Они помогают описывать углы и решать тригонометрические уравнения. На единичной окружности их можно найти по координатам точки. Главное при вычислении — сначала проверить, что знаменатель не равен нулю: у каждой функции есть углы, при которых она не определена.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тангенс угла α — отношение синуса этого угла к его косинусу: tg α = sin α / cos α, если cos α ≠ 0. Иными словами, нужно разделить значение синуса на значение косинуса. Условие cos α ≠ 0 обязательно, потому что деление на ноль не определено.
Котангенс угла α — отношение косинуса к синусу: ctg α = cos α / sin α, если sin α ≠ 0. Здесь порядок величин обратный тому, который используется для тангенса. Это определение позволяет найти котангенс, когда известны синус и синус не равен нулю.
На единичной окружности углу α соответствует точка с координатами (x, y) = (cos α, sin α). Поэтому тангенс можно вычислить как tg α = y / x при x ≠ 0, а котангенс — как ctg α = x / y при y ≠ 0. Такая запись связывает тригонометрические функции с координатами точки и помогает находить их значения по окружности.
Синус и косинус угла уже задают его основные тригонометрические характеристики. Тангенс и котангенс получают делением этих величин, поэтому новых исходных данных для вычисления не требуется. Условие существования каждой функции определяется её знаменателем: для тангенса проверяют косинус, для котангенса — синус.
На единичной окружности радиус равен единице, а координаты точки, соответствующей углу α, равны (cos α, sin α). Значит, первая координата — это косинус, а вторая — синус. Подстановка этих координат в определения даёт tg α = y / x и ctg α = x / y; если знаменатель равен нулю, соответствующее деление невозможно.
Косинус обращается в ноль при α = π/2 + πk, где k — целое число: это углы, для которых точка окружности лежит на вертикальной оси. Поэтому тангенс при них не определён. Синус равен нулю при α = πk, когда точка лежит на горизонтальной оси, так что в этих углах не определён котангенс.
Если обе функции существуют, то их произведение можно преобразовать по определениям: tg α · ctg α = (sin α / cos α) · (cos α / sin α) = 1. Сокращение возможно только при ненулевых синусе и косинусе — именно это и означает существование обеих функций. Их запретные углы различаются, поэтому тангенс и котангенс одного угла не могут быть одновременно не определены.
Чтобы найти тангенс или котангенс по известным синусу и косинусу, подставь значения в нужную дробь. Затем проверь знаменатель и только после этого выполняй деление. Например, если синус равен 3/5, а косинус — 4/5, оба знаменателя ненулевые и вычислить можно обе функции; если знаменатель равен нулю, делить нельзя.
| Характеристика | y = tg x | y = ctg x |
|---|---|---|
| Определение через синус и косинус | tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| Область определения | x ≠ π/2 + πk, k ∈ Z | x ≠ πk, k ∈ Z |
| Множество значений | R | R |
| Период | π | π |
| Нули | x = πk, k ∈ Z | x = π/2 + πk, k ∈ Z |
| Точки, в которых выражение не определено | x = π/2 + πk, k ∈ Z | x = πk, k ∈ Z |
Чтобы проверить допустимость значения x, найди его в строке области определения или среди точек, где выражение не определено. Строки «нули» показывают, когда значение функции равно нулю, а период помогает учитывать повторение значений через π. Множество значений R означает, что каждая функция может принимать любое действительное значение.
Задача 1. Дано: sin α = 3/5, cos α = 4/5. Найдите tg α и ctg α. Сначала выбираем формулы из определений и проверяем знаменатели: оба заданных числа ненулевые. Значит, обе функции существуют, и можно выполнить деление.
Ответ: tg α = 3/4, ctg α = 4/3. Проверка: произведение значений равно 1, как и должно быть, когда обе функции определены.
Задача 2. Точка единичной окружности, соответствующая углу α, имеет координаты (−3/5, 4/5). Найдите tg α и ctg α. В координатной записи тангенс — это y / x, а котангенс — x / y. Обе координаты не равны нулю, поэтому оба отношения допустимы.
Ответ: tg α = −4/3, ctg α = −3/4. Знаки согласуются с координатами: при отрицательном x и положительном y первое отношение отрицательно, как и второе.
Задача 3. Определите, существуют ли tg α и ctg α, если α = 3π/2, и найдите те из них, которые определены. Удобно сначала найти синус и косинус этого угла: sin(3π/2) = −1, cos(3π/2) = 0. Это позволяет проверить знаменатель каждой дроби отдельно и не выполнять недопустимое деление.
Ответ: тангенс не существует, котангенс существует и равен 0. Проверка по координатам даёт ту же картину: x = 0, y = −1, поэтому y / x вычислить нельзя, а x / y = 0.
Ошибка: записывать tg α = cos α / sin α. Так меняют местами числитель и знаменатель и получают формулу котангенса. Чтобы проверить себя, сверь порядок с определением: для тангенса сверху стоит синус, а снизу косинус.
Ошибка: считать тангенс определённым при любом угле. Такое рассуждение забывает, что косинус является знаменателем и может обращаться в ноль. Перед вычислением найди cos α; если он равен нулю, тангенс не существует.
Ошибка: делать вывод, что котангенс не определён при cos α = 0. Здесь проверяют не тот знаменатель: в формуле котангенса внизу стоит sin α. Подставь угол в определение и проверь именно синус, а не косинус.
Ошибка: применять tg α · ctg α = 1, не проверяя существование обеих функций. При нулевом синусе или косинусе одна из дробей не определена, поэтому произведение использовать нельзя. Самопроверка проста: сначала убедись, что sin α ≠ 0 и cos α ≠ 0, и лишь затем применяй равенство.
Для работы с тангенсом и котангенсом нужны определения синуса и косинуса, а также понимание координат точки на единичной окружности. Позже эти функции будут встречаться при решении тригонометрических уравнений и применении тождеств. Периодичность и ограничения области определения пригодятся при изучении графиков и свойств тригонометрических функций.
Чем тангенс отличается от котангенса?
Тангенс — это синус, делённый на косинус, а котангенс — косинус, делённый на синус. Когда обе величины определены, они являются взаимно обратными: их произведение равно 1.
Почему тангенс не определён при углах π/2 + πk?
При таких углах cos α = 0, а косинус стоит в знаменателе формулы tg α = sin α / cos α. Делить на ноль нельзя, поэтому тангенс не существует.
При каких углах не существует котангенс?
Котангенс не определён при α = πk, где k — целое число. В этих точках sin α = 0, а синус находится в знаменателе формулы ctg α = cos α / sin α.
Как найти тангенс, если известны синус и косинус угла?
Нужно разделить значение синуса на значение косинуса: tg α = sin α / cos α. Перед вычислением проверь, что cos α ≠ 0.
Могут ли тангенс и котангенс одного угла одновременно не существовать?
Нет. Тангенс не существует, когда cos α = 0, а в этих точках sin α ≠ 0, поэтому котангенс определён. Котангенс не существует при sin α = 0, когда cos α ≠ 0, поэтому тангенс определён.
8.1. Определение тангенса и котангенса угла
