"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Формулы тангенса и котангенса суммы и разности позволяют находить значения тригонометрических функций сложных углов, не вычисляя их синус и косинус по отдельности. Они связывают тангенсы или котангенсы отдельных углов с функцией от их суммы либо разности. Для применения формул нужно убедиться, что исходные функции определены и знаменатель результата не равен нулю. Формулы двойного угла получаются из формул суммы, если оба угла равны.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тангенс угла α — это отношение его синуса к косинусу: tg α = sin α / cos α. Он существует только тогда, когда cos α ≠ 0, то есть α ≠ π/2 + πk, где k ∈ Z. Это определение позволяет заменить отношение синуса и косинуса одной функцией и затем применять формулы для углов.
Котангенс угла α — отношение косинуса к синусу: ctg α = cos α / sin α. Он определён при sin α ≠ 0, то есть α ≠ πk, где k ∈ Z. Котангенс удобен, когда в задаче известны отношения, связанные с косинусом и синусом именно в таком порядке.
Тангенс суммы связывает тангенсы двух углов с тангенсом их суммы: tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β). Формула применима, если tg α и tg β определены и 1 − tg α · tg β ≠ 0. Она помогает вычислить значение для суммы, используя значения для отдельных углов.
Котангенс суммы выражается через котангенсы слагаемых так: ctg(α + β) = (ctg α · ctg β − 1) / (ctg α + ctg β). Для применения должны существовать оба исходных котангенса, а сумма ctg α + ctg β не должна равняться нулю. Это позволяет работать с суммами углов, когда данные задачи удобнее выразить через котангенсы.
Чтобы вывести формулу тангенса суммы, берут определения tg(α + β) = sin(α + β) / cos(α + β) и подставляют формулы синуса и косинуса суммы. В числителе получается sin α · cos β + cos α · sin β, а в знаменателе — cos α · cos β − sin α · sin β. Деление числителя и знаменателя на cos α · cos β превращает выражение в дробь с tg α и tg β. Минус в знаменателе возникает именно из формулы косинуса суммы.
Формулу разности можно получить, не выводя её с нуля: в формуле суммы заменяют β на −β. Синус меняет знак при смене знака аргумента, а косинус остаётся прежним; поэтому tg(−β) = −tg β. Подстановка меняет знак между тангенсами в числителе и даёт плюс в знаменателе. Так получается tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β).
Формулы для котангенса следуют из того, что ctg x = 1 / tg x, если обе функции определены. Например, в формуле котангенса суммы заменяют ctg α и ctg β на обратные тангенсы, а затем приводят дробь к общему виду. Можно также начать с отношения cos(α + β) / sin(α + β) и подставить формулы косинуса и синуса суммы. Оба способа объясняют, почему формулы котангенса отличаются расположением выражений в числителе и знаменателе.
У формул есть два уровня условий. Во-первых, исходные tg или ctg должны существовать: иначе нельзя подставить их значения. Во-вторых, знаменатель итоговой дроби не должен быть нулём. Например, если 1 − tg α · tg β = 0, формула тангенса суммы не даёт значения: это соответствует ситуации, когда косинус суммы равен нулю и тангенс суммы не определён.
Формулы двойного угла — частный случай формул суммы: достаточно положить β = α. Тогда tg(α + α) = tg 2α, а в числителе формулы суммы два одинаковых тангенса дают 2 tg α. Получаем tg 2α = 2 tg α / (1 − tg² α). Подстановка в формулу котангенса суммы аналогично даёт ctg 2α = (ctg² α − 1) / (2 ctg α).
| Выражение | Формула | Условия применимости |
|---|---|---|
| tg(α + β) | (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β) | Тангенсы определены; 1 − tg α · tg β ≠ 0 |
| tg(α − β) | (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β) | Тангенсы определены; 1 + tg α · tg β ≠ 0 |
| ctg(α + β) | (ctg α · ctg β − 1) / (ctg α + ctg β) | Котангенсы определены; ctg α + ctg β ≠ 0 |
| ctg(α − β) | (ctg α · ctg β + 1) / (ctg β − ctg α) | Котангенсы определены; ctg β − ctg α ≠ 0 |
| tg 2α | 2 tg α / (1 − tg² α) | tg α определён; 1 − tg² α ≠ 0 |
| ctg 2α | (ctg² α − 1) / (2 ctg α) | ctg α определён; ctg α ≠ 0 |
Сначала выбери строку по нужной функции и выражению, затем подставь известные значения. До вычислений проверь оба условия: определённость исходных тангенсов или котангенсов и ненулевой знаменатель. Для двойного угла в формулах уже используется один и тот же угол α.
Задача 1. Найти tg(α + β), если tg α = 1/3 и tg β = 1/2. Здесь известны оба тангенса, поэтому удобно сразу применить формулу суммы. Но сначала нужно убедиться, что её знаменатель не обратится в ноль.
Ответ: tg(α + β) = 1. Проверка знаменателя подтвердила, что формула применима, а вычисленное значение не требует дополнительных преобразований.
Задача 2. Вычислить tg 15°, представив угол как разность 45° и 30°. Такое представление полезно, потому что значения тангенса обоих углов известны. Для разности нужно использовать формулу с плюсом в знаменателе.
Ответ: tg 15° = 2 − √3. Знаменатель исходной формулы положителен, поскольку tg 45° и tg 30° положительны, значит, он не равен нулю.
Задача 3. Найти ctg(α + β), если ctg α = 2 и ctg β = 3, а затем проверить применимость формулы. Известны именно котангенсы, поэтому используем формулу котангенса суммы. Проверка здесь сводится к определённости заданных значений и ненулевому знаменателю.
Ответ: ctg(α + β) = 1. Условия формулы выполнены, поэтому результат допустим.
В формуле тангенса суммы иногда ставят в знаменателе плюс, а в формуле разности — минус. Ошибка возникает из-за того, что знаки числителя и знаменателя запоминают как одинаковые. Проверь себя по формулам косинуса: для суммы в ней вычитание, а для разности — сложение; именно это определяет знак знаменателя.
Другая ошибка — подставлять значения, не проверив знаменатель формулы. Если он равен нулю, дробь не существует, даже когда все исходные значения известны. Перед вычислениями отдельно найди знаменатель и проверь его; если он нулевой, тангенс или котангенс итогового угла может быть не определён.
Тангенс и котангенс путают, считая их формулы взаимозаменяемыми. Причина в том, что обе функции связаны с синусом и косинусом, но порядок отношения у них обратный: tg α = sin α / cos α, а ctg α = cos α / sin α. Проверка простая: выпиши определение функции из условия и сверь по нему числитель и знаменатель формулы.
Иногда считают, что известных чисел для подстановки достаточно, хотя сам tg или ctg одного из углов не определён. Это происходит, если забыть, что деление на ноль запрещено уже в определении функции. Проверь условия cos α ≠ 0 для тангенса и sin α ≠ 0 для котангенса для каждого исходного угла.
Для понимания формул нужны определения тангенса и котангенса, а также формулы синуса и косинуса суммы и разности углов. Именно из последних выводится формула тангенса суммы, а затем получают остальные соотношения. Знание этих связей помогает не только запоминать знаки, но и самостоятельно восстанавливать формулы.
Формулы суммы и разности используют при преобразовании тригонометрических выражений, вычислении значений функций и решении тригонометрических уравнений. Они позволяют заменить сложный угол несколькими более простыми, для которых значения известны. Формулы двойного угла — ещё одно применение формул суммы, когда складывают угол сам с собой.
Как вывести формулу тангенса суммы?
Записывают формулы sin(α + β) и cos(α + β), а затем делят первую на вторую. В полученном выражении делят числитель и знаменатель на cos α · cos β и получают формулу через tg α и tg β. Нужно, чтобы оба тангенса были определены и знаменатель формулы не был нулём.
Почему в знаменателе формулы tg(α + β) стоит знак минус?
В формуле косинуса суммы стоит разность: cos α · cos β − sin α · sin β. После деления на cos α · cos β эта разность превращается в 1 − tg α · tg β. Поэтому в знаменателе формулы тангенса суммы стоит минус.
Как получить формулу тангенса разности из формулы суммы?
В формуле суммы заменяют β на −β. Так как тангенс — нечётная функция, tg(−β) = −tg β. После подстановки получается tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β).
Можно ли вывести формулы для котангенса через тангенс?
Да. Используют равенство ctg x = 1 / tg x и подставляют его в формулы тангенса, после чего упрощают дроби. Формулы также можно вывести непосредственно из отношений синуса и косинуса.
Почему перед подстановкой значений нужно проверять знаменатель?
При нулевом знаменателе дробь не определена, поэтому формулу нельзя применять в таком виде. Кроме того, исходные tg и ctg существуют не для всех углов. Проверка условий помогает не получить выражение, которому не соответствует значение функции.
8.2. Основные формулы для tg а и ctg а
