"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Арктангенс числа x — это угол от −π/2 до π/2, тангенс которого равен x. Эта функция позволяет восстановить угол по известному значению тангенса, поэтому она нужна при решении тригонометрических уравнений и задач на нахождение углов. Арктангенс определён для любого действительного числа, возрастает на всей числовой прямой и принимает значения только внутри интервала (−π/2; π/2).
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арктангенс числа x — угол из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен x; его обозначают arctg x. Например, если tg α = x и α лежит в этом интервале, то arctg x = α. Ограничение на угол помогает выбрать одно определённое значение, а не любой из углов с таким тангенсом.
Функция арктангенса y = arctg x каждому действительному числу x сопоставляет единственный угол, тангенс которого равен x. Здесь x — входное число, а y — угол в радианах. Такое соответствие позволяет находить угол, когда известно значение его тангенса.
Главное значение арктангенса — значение из интервала (−π/2; π/2). Оно называется главным, потому что периодический тангенс имеет много углов с одинаковым значением, а договорённость об интервале выбирает один из них. Поэтому результат arctg всегда лежит именно в этих границах.
На интервале (−π/2; π/2) арктангенс и тангенс — взаимно обратные функции: arctg(tg x) = x для x из этого интервала. Иными словами, одна функция отменяет действие другой, если исходный угол уже выбран в допустимых границах. Это условие понадобится при упрощении выражений и решении уравнений.
Чтобы определить обратную функцию к тангенсу, сначала нужно выбрать промежуток, на котором каждому значению тангенса соответствует только один угол. На всей числовой прямой это невозможно: тангенс периодичен, поэтому углы x и x + π имеют одинаковый тангенс. На интервале (−π/2; π/2) тангенс строго возрастает, а около его концов неограниченно уходит вниз и вверх, так что принимает все действительные значения ровно по одному разу.
Из этого выбора сразу следуют область определения и множество значений арктангенса. Любое действительное число можно подставить вместо x, потому что для него существует угол с таким тангенсом; значит, область определения равна ℝ. Но результатом всегда является угол из выбранного интервала, поэтому множество значений — (−π/2; π/2), а не вся числовая прямая.
Равенства взаимной обратности выглядят похоже, но условия у них разные. В выражении tg(arctg x) сначала выбирается угол из главного интервала, затем берётся его тангенс, который по определению равен x; ограничивать x не нужно. В выражении arctg(tg x) сначала берётся тангенс угла x, а затем выбирается главное значение, поэтому исходный угол восстановится только тогда, когда сам x лежит в (−π/2; π/2).
Тангенс нечётный: tg(−x) = −tg x. Если угол для числа x равен α, то для числа −x подходит угол −α; он тоже принадлежит симметричному интервалу (−π/2; π/2). Поэтому арктангенс нечётный: arctg(−x) = −arctg x. Например, значения функции при x и −x равны по величине и противоположны по знаку.
График арктангенса можно получить, отразив часть графика тангенса при −π/2 < x < π/2 относительно прямой y = x: у обратных функций меняются местами аргумент и значение. Так как тангенс на этом промежутке возрастает, отражённый график тоже возрастает и проходит через начало координат. При удалении x влево или вправо график всё ближе подходит к уровням −π/2 и π/2, но не достигает их.
| Свойство | Значение |
|---|---|
| Область определения | ℝ |
| Множество значений | (−π/2; π/2) |
| Нуль функции | x = 0 |
| Чётность | Нечётная |
| Монотонность | Строго возрастает на ℝ |
| Поведение при x → +∞ и x → −∞ | Стремится к π/2 и −π/2 соответственно |
Таблица помогает быстро проверить допустимые значения аргумента и ответа, а также установить знак или порядок значений функции. Например, если полученный результат не лежит между −π/2 и π/2, это не может быть значением арктангенса. Для сравнения значений можно использовать строгий рост: большему аргументу соответствует больший результат.
Нужно найти углы из интервала главных значений, тангенсы которых равны данным числам. Начнём со стандартных значений тангенса и проверим, что подходящие углы находятся между −π/2 и π/2. Это условие исключает другие углы с тем же тангенсом.
Ответ: π/4 и −π/3. Проверка состоит в том, чтобы взять тангенс найденного угла и убедиться, что он равен исходному числу.
В первом выражении арктангенс создаёт угол из главного интервала, поэтому применяем равенство tg(arctg x) = x. Во втором выражении важно проверить исходный угол: обратное равенство работает, только если угол уже принадлежит (−π/2; π/2). Угол −π/6 находится внутри этого интервала.
Ответ: 4 и −π/6. Если бы угол во втором выражении был за пределами главного интервала, его нельзя было бы просто переписать без проверки.
Арктангенс принимает значения только внутри (−π/2; π/2), и π/4 этому условию удовлетворяет. Значит, можно применить тангенс к обеим частям равенства: это обратное действие отменит арктангенс слева. Затем останется решить линейное уравнение.
Ответ: x = 1. Подстановка даёт arctg(1) = π/4, поэтому найденное значение подходит.
Ошибка: считать, что arctg(tg x) = x при любом x. Её допускают, перенося правило взаимной обратности без учёта того, что арктангенс возвращает только главное значение. Проверяйте исходный угол: равенство допустимо, если −π/2 < x < π/2; иначе результат может отличаться на целое число π.
Ошибка: путать область определения и множество значений. Иногда ограниченный интервал для углов ошибочно принимают за область определения, хотя аргумент арктангенса — любое действительное число. Самопроверка проста: можно ли найти угол с тангенсом 10? Можно, поэтому 10 допустимо подставить, но ответ всё равно будет между −π/2 и π/2.
Ошибка: включать −π/2 и π/2 в множество значений арктангенса. Эти углы не входят в интервал главных значений, а тангенс на них не определён, поэтому получить их как arctg x нельзя. Проверьте скобки: нужны круглые, а не квадратные; при больших по модулю x функция лишь приближается к границам.
Ошибка: полагать, что arctg(−x) = arctg x. Такое рассуждение игнорирует знак: из нечётности тангенса следует нечётность и его обратной функции. Чтобы проверить себя, подставьте x = 1: arctg(−1) = −π/4, тогда как arctg 1 = π/4.
Для изучения арктангенса нужно знать, что такое тангенс, как он периодичен и чему равен для стандартных углов. Эти знания позволяют понимать, почему одному значению тангенса могут соответствовать разные углы и как выбрать нужный. Арктангенс помогает решать тригонометрические уравнения и находить угол по значению тангенса. Позже эта тема пригодится при изучении других обратных тригонометрических функций, их графиков и производных.
Почему для определения арктангенса выбирают именно интервал (−π/2; π/2)?
На всей числовой прямой тангенс периодичен, поэтому одному значению соответствуют многие углы. На интервале (−π/2; π/2) он строго возрастает и принимает каждое действительное значение ровно один раз.
Может ли арктангенс принимать значение π/2?
Нет, π/2 не входит в множество значений арктангенса. При больших положительных x значения arctg x приближаются к π/2, но не достигают его.
Чем отличаются равенства tg(arctg x) = x и arctg(tg x) = x?
Первое равенство верно для любого действительного x: тангенс возвращает число, по которому был найден угол. Во втором равенстве x должен принадлежать (−π/2; π/2), иначе арктангенс вернёт главное значение, которое может отличаться от исходного угла.
Как найти arctg числа, если оно не является тангенсом стандартного угла?
Точное значение часто нельзя выразить через стандартные углы, поэтому его оставляют в виде arctg x или находят приближённо с помощью калькулятора. При этом результат обязательно лежит между −π/2 и π/2.
Почему график арктангенса симметричен относительно начала координат?
Тангенс — нечётная функция, поэтому tg(−a) = −tg a. Из-за этого углу, тангенс которого равен x, соответствует угол противоположного знака для числа −x: arctg(−x) = −arctg x.
8.3. Арктангенс
