"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Единичная окружность помогает определить синус и косинус любого угла, а не только острого. Повернём начальный радиус на заданный угол и посмотрим, где его конец окажется на окружности. Абсцисса полученной точки равна косинусу угла, а ордината — синусу. Поэтому координаты точки сразу показывают значения обеих величин и их знаки. Это определение лежит в основе тригонометрических функций и позволяет работать с углами больше полного оборота и с отрицательными углами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат и радиусом 1. Она нужна, чтобы каждому углу сопоставить точку и по её координатам определить синус и косинус. Начальный радиус обычно направляют вдоль положительной полуоси x.
Синус угла — ордината точки единичной окружности, полученной поворотом начального радиуса на этот угол. Ордината — вторая координата точки, то есть её положение по вертикали. Поэтому синус показывает, насколько высоко или низко находится конец повернутого радиуса.
Косинус угла — абсцисса соответствующей точки единичной окружности. Абсцисса — первая координата, показывающая положение точки по горизонтали. По ней определяют косинус, а вместе с ординатой она полностью задаёт координаты точки.
Поворот на положительный угол выполняют против часовой стрелки, а на отрицательный — по часовой стрелке. Направление важно, потому что при разных поворотах конец радиуса может оказаться в разных частях окружности. Так можно задавать не только острые углы, но и отрицательные углы, и углы больше полного оборота.
Угол удобно представлять как поворот луча, а не только как фигуру с двумя сторонами. Один луч фиксируют как начальный радиус, а второй получают его поворотом на заданную величину. Конец повернутого радиуса лежит на окружности, потому что при вращении длина радиуса не меняется.
Точка на окружности имеет две координаты, поэтому она содержит сведения о горизонтальном и вертикальном смещении конца радиуса. Радиус выбран равным 1: благодаря этому координаты не зависят от масштаба окружности и напрямую служат значениями тригонометрических величин. По принятому соглашению горизонтальную координату называют косинусом, а вертикальную — синусом угла.
Положительный и отрицательный углы различаются направлением движения от начального радиуса. Если точка оказалась выше оси x, её ордината положительна; если ниже — отрицательна. Справа от оси y абсцисса положительна, слева — отрицательна, поэтому положение точки сразу позволяет определить знаки синуса и косинуса.
Расстояние точки единичной окружности от начала координат равно 1. По формуле расстояния это означает, что для её координат x² + y² = 1, а значит, каждая координата по модулю не превосходит 1. Поскольку cos α = x и sin α = y, для любого угла −1 ≤ cos α ≤ 1 и −1 ≤ sin α ≤ 1.
Для угла 0 радиус не поворачивается, и точка остаётся в (1; 0). Поворот на π/2 приводит её в (0; 1), на π — в (−1; 0), а на 3π/2 — в (0; −1). Поворот на 2π составляет полный оборот, поэтому точка возвращается в (1; 0); значения синуса и косинуса читают по второй и первой координатам соответственно.
| Угол | Координаты точки | cos угла | sin угла |
|---|---|---|---|
| 0 | (1; 0) | 1 | 0 |
| π/2 | (0; 1) | 0 | 1 |
| π | (−1; 0) | −1 | 0 |
| 3π/2 | (0; −1) | 0 | −1 |
| 2π | (1; 0) | 1 | 0 |
Сначала найдите в таблице угол и соответствующую точку на окружности. Затем прочитайте косинус в столбце абсцисс, а синус — в столбце ординат. Координаты позволяют проверить оба значения одновременно.
Задача 1. Точка единичной окружности получена поворотом начального радиуса на угол 0. Найдите её координаты, синус и косинус угла. Поскольку угол нулевой, радиус остаётся на положительной полуоси x. Здесь полезно сначала установить точку, а уже после этого назвать её координаты.
Ответ: координаты (1; 0), cos 0 = 1, sin 0 = 0.
Задача 2. Для угла π/2 определите координаты соответствующей точки единичной окружности и значения синуса и косинуса. Угол π/2 — это четверть полного оборота, то есть поворот против часовой стрелки от начального радиуса к положительной полуоси y. Поэтому точка лежит на вертикальной оси, а её координаты можно определить без вычислений.
Ответ: координаты (0; 1), cos(π/2) = 0, sin(π/2) = 1.
Задача 3. Точка единичной окружности имеет координаты (−3/5; 4/5). Определите косинус и синус угла, которому соответствует эта точка, и укажите четверть. Здесь угол находить не требуется: его тригонометрические значения уже закодированы в координатах. Знаки координат помогут определить положение точки.
Ответ: cos α = −3/5, sin α = 4/5; точка находится во второй четверти.
Ошибка: поменять синус и косинус местами, назвав синус абсциссой, а косинус ординатой. Такое смешение возникает, если запомнить только названия, не связывая их с координатными осями. Проверка: запишите координаты точки как (cos α; sin α) и сверьте первое число с горизонтальной осью, второе — с вертикальной.
Ошибка: считать, что синус и косинус всегда положительны. Это неверно, потому что координаты точки слева или ниже начала координат отрицательны; знак зависит от четверти. Проверяйте его по расположению точки: слева отрицателен косинус, ниже отрицателен синус.
Ошибка: смешивать угол поворота с длиной дуги. На единичной окружности численная мера дуги в радианах совпадает с мерой центрального угла, но это не определение синуса и косинуса. Проверка простая: синус и косинус получают из координат конца радиуса, а не из длины дуги.
Ошибка: полагать, что синус и косинус существуют только для острых углов. Такое представление связано с прямоугольным треугольником, где удобно вводить отношения сторон именно для острых углов. Единичная окружность работает для любого угла; проверяйте, можно ли повернуть радиус на заданную величину — такой поворот всегда задаёт точку.
Для работы с единичной окружностью нужны координатная плоскость, координаты точки, понятие окружности и представление о направлении поворота угла. Если эти понятия знакомы, синус и косинус можно читать непосредственно по точке. Определения понадобятся при изучении тригонометрических функций и их графиков, тождеств и решения уравнений. Координатный подход помогает понимать, откуда берутся значения функций и почему они меняют знак.
Почему синус — это ордината, а косинус — абсцисса?
Так устроено определение на единичной окружности: точке, полученной поворотом радиуса на угол, соответствуют координаты (cos α; sin α). Это соглашение согласуется с определением для острого угла в прямоугольном треугольнике.
Можно ли найти синус и косинус отрицательного угла?
Да. Отрицательный угол задаёт поворот по часовой стрелке, и конец радиуса всё равно попадает на единичную окружность. Его ордината даёт синус, а абсцисса — косинус.
Почему синус и косинус не выходят за пределы от −1 до 1?
Каждая точка единичной окружности находится на расстоянии 1 от начала координат. Поэтому ни её абсцисса, ни ордината по модулю не могут быть больше 1.
Могут ли синус и косинус быть отрицательными одновременно?
Да, в третьей четверти обе координаты точки окружности отрицательны. Значит, там одновременно отрицательны и косинус, и синус угла.
Чем определение синуса и косинуса на единичной окружности отличается от определения для прямоугольного треугольника?
В прямоугольном треугольнике синус и косинус определяют для острых углов как отношения сторон. Единичная окружность позволяет определить эти величины для любого угла, в том числе отрицательного и превышающего 90°.
7.3. Определение синуса и косинуса угла
