10.1*. Определение синуса и косинуса угла

Определения и обозначения

Единичная окружность — окружность с центром в начале координат и радиусом 1. Её используют как удобную «шкалу» для определения тригонометрических величин. Радиус 1 позволяет сразу сравнивать координаты точки с единицей.

Угол поворота — угол, на который радиус единичной окружности поворачивается из начального положения. Обычно начальным считают радиус, направленный вправо, вдоль положительной полуоси Ox. Это позволяет каждому углу сопоставить определённую точку окружности.

Синус угла — ордината, то есть вторая координата, точки единичной окружности, полученной поворотом на данный угол. Если точка имеет координаты (x; y), то sin α = y. По синусу можно узнать, насколько высоко или низко точка расположена относительно оси Ox.

Косинус угла — абсцисса, то есть первая координата, точки единичной окружности, соответствующей этому углу. При координатах (x; y) имеем cos α = x. Косинус показывает положение точки справа или слева от оси Oy.

Как это устроено

Единичную окружность выбирают потому, что её радиус равен 1, а значит, координаты конца радиуса не нужно дополнительно делить на его длину. Начальный радиус направляют вправо, а затем поворачивают против часовой стрелки на угол α. Конец повернутого радиуса и есть точка, по которой определяют синус и косинус.

Если конец радиуса имеет координаты (x; y), то горизонтальное положение точки задаётся числом x, а вертикальное — числом y. По определению x = cos α, y = sin α, поэтому координаты записывают так: (cos α; sin α). Точка лежит на окружности радиуса 1, следовательно, x² + y² = 1 и cos² α + sin² α = 1.

Определение через поворот не ограничивается острыми углами. Радиус можно повернуть по часовой стрелке, получив отрицательный угол, или сделать несколько полных оборотов, получив угол больше 2π. После полного оборота радиус возвращается в прежнее положение, поэтому sin(α + 2π) = sin α и cos(α + 2π) = cos α.

При переходе в другую четверть меняются знаки координат, поэтому меняются и знаки синуса или косинуса. Симметрия окружности сохраняет расстояния точки до осей, из-за чего абсолютные значения соответствующих величин могут совпадать. Например, точки, симметричные относительно оси Oy, имеют противоположные абсциссы, но одинаковые ординаты.

Значения синуса и косинуса основных углов

Чтобы пользоваться таблицей, найдите нужный угол и прочитайте координаты соответствующей точки. Первая координата даст cos α, а вторая — sin α. Если угол записан в градусах, сначала при необходимости переведите его в радианы или используйте знакомое соответствие: 180° = π.

Разбор задач

Задача 1. Координаты точки

Условие: по точке единичной окружности с координатами (−1/2; √3/2) определить cos α и sin α. Нужно не вычислять новые значения, а правильно сопоставить координаты с определениями. Первая координата отвечает за косинус, вторая — за синус.

1. Записываем координаты точки: x = −1/2, y = √3/2.
2. Применяем определения: cos α = x, sin α = y.
3. Подставляем найденные координаты и проверяем знаки: точка находится во II четверти, где косинус отрицателен, а синус положителен.

Ответ: cos α = −1/2, sin α = √3/2.

Задача 2. Знаки в четверти

Условие: определить знаки sin α и cos α, если угол α лежит во второй четверти. Во второй четверти точка расположена выше оси Ox и левее оси Oy. Значит, её ордината положительна, а абсцисса отрицательна.

1. Вспоминаем координаты точки: cos α — абсцисса, sin α — ордината.
2. Во II четверти абсцисса имеет знак «−», поэтому cos α < 0.
3. Ордината имеет знак «+», поэтому sin α > 0.

Ответ: sin α положителен, cos α отрицателен.

Задача 3. Противоположный угол

Условие: найти sin(−α) и cos(−α), если известны sin α и cos α. Углы α и −α дают точки, симметричные относительно оси Ox. При такой симметрии абсцисса сохраняется, а ордината меняет знак.

1. Для точки угла α запишем координаты (cos α; sin α).
2. После отражения относительно оси Ox получаем точку (cos α; −sin α).
3. Сопоставляем координаты с определениями: cos(−α) = cos α, sin(−α) = −sin α.

Ответ: sin(−α) = −sin α, cos(−α) = cos α.

Типичные ошибки

Иногда синус принимают за абсциссу, а косинус — за ординату. Так происходит, если запомнить слова без связи с координатной плоскостью. Проверка проста: координаты точки записываются в порядке (cos α; sin α).

Другая ошибка — считать синус и косинус определёнными только для острых углов. Её исправляет поворот радиуса на любой угол, в том числе отрицательный или превышающий полный оборот. Если радиус можно повернуть, соответствующие значения синуса и косинуса существуют.

Знаки иногда выбирают неверно, не учитывая четверть. Нужно определить положение точки: справа или слева от Oy задаёт знак косинуса, а выше или ниже Ox — знак синуса. После этого знак каждой величины проверяется по её координате.

Нельзя получать значение синуса или косинуса, большее 1 по модулю. Обе величины являются координатами точки окружности радиуса 1, поэтому лежат в промежутке от −1 до 1. Если результат вышел за этот диапазон, значит, допущена ошибка в вычислениях или в чтении условия.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны координатная плоскость, координаты точки, понятия окружности и поворота, а также радианная мера угла. Эти знания помогают увидеть, почему положение точки описывается двумя числами и как угол связан с её движением по окружности.

Дальше определения понадобятся при выводе тригонометрических тождеств, построении графиков функций y = sin x и y = cos x, а также при решении тригонометрических уравнений. Единичная окружность позволит понимать знаки и значения функций без заучивания отдельных случаев.

Что запомнить

• Синус угла — ордината точки единичной окружности.
• Косинус угла — абсцисса точки единичной окружности.
• Для любого угла −1 ≤ sin α ≤ 1 и −1 ≤ cos α ≤ 1.
• Знаки синуса и косинуса определяются знаками координат точки.
• cos(−α) = cos α, а sin(−α) = −sin α.
• Координаты точки единичной окружности имеют вид (cos α; sin α).