"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Синус, косинус, тангенс и котангенс связывают угол с отношениями сторон прямоугольного треугольника и координатами точки единичной окружности. Синус и косинус определены для любого угла и принимают значения от −1 до 1. Тангенс и котангенс выражаются через их отношение, поэтому имеют отдельные запрещённые углы. Знание свойств функций помогает решать задачи по геометрии, преобразовывать выражения и строить графики.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус острого угла α — отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin α = a/c. На единичной окружности sin α равен ординате точки, соответствующей углу α. Это позволяет находить синус не только для острого угла треугольника, но и для любого угла.
Косинус острого угла α — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos α = b/c. На единичной окружности cos α равен абсциссе соответствующей точки. По косинусу удобно определять положение точки по горизонтали и знак функции.
Тангенс угла определяется формулой tg α = sin α / cos α, если cos α ≠ 0. Для острого угла это также отношение противолежащего катета к прилежащему. Формула сразу показывает, что тангенс не существует при α = π/2 + πk, k ∈ Z.
Котангенс задаётся формулой ctg α = cos α / sin α, если sin α ≠ 0. В прямоугольном треугольнике это отношение прилежащего катета к противолежащему. Поэтому ctg α не определён при α = πk, k ∈ Z.
Единичная окружность имеет центр в начале координат и радиус 1. Если повернуть радиус на угол α, его конец попадёт в точку P(x; y), причём x² + y² = 1. По определению cos α = x, а sin α = y, поэтому один рисунок задаёт обе функции для любого угла.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза единичной длины, а катеты имеют длины координатные проекции радиуса. Поэтому отношения катетов к гипотенузе совпадают с координатами точки окружности. Для тангенса делят вертикальную координату на горизонтальную, а для котангенса — горизонтальную на вертикальную.
Если cos α равен нулю, дробь sin α / cos α не имеет смысла: знаменатель становится нулём. Это происходит в точках окружности с абсциссой 0, то есть при α = π/2 + πk. Аналогично ctg α исключает углы, для которых ордината равна нулю: α = πk.
Четверть координатной плоскости сразу даёт знаки функций. В I четверти x и y положительны, во II x отрицательна, в III обе координаты отрицательны, а в IV отрицательна y. Поскольку tg и ctg — отношения x и y, их знак положителен в I и III четвертях и отрицателен во II и IV.
Координаты точки окружности не могут быть по модулю больше 1, поэтому −1 ≤ sin α ≤ 1 и −1 ≤ cos α ≤ 1. Отношение координат уже не ограничено: при приближении знаменателя к нулю оно может становиться сколь угодно большим по модулю. Поворот на 2π возвращает точку, поэтому синус и косинус имеют период 2π, а поворот на π меняет обе координаты на противоположные и сохраняет их отношение, что даёт период π для тангенса и котангенса.
| Свойство | y = sin α | y = cos α | y = tg α | y = ctg α |
|---|---|---|---|---|
| Определение через координаты точки единичной окружности | Ордината y | Абсцисса x | y / x | x / y |
| Область определения | Все α | Все α | α ≠ π/2 + πk | α ≠ πk, k ∈ Z |
| Множество значений | [−1; 1] | [−1; 1] | Все действительные числа | Все действительные числа |
| Период | 2π | 2π | π | π |
| Чётность или нечётность | Нечётная | Чётная | Нечётная | Нечётная |
| Углы, при которых функция не определена | Нет | Нет | π/2 + πk | πk |
| Знак в каждой из четырёх четвертей | +, +, −, − | +, −, −, + | +, −, +, − | +, −, +, − |
В строке о знаках четверти перечислены по порядку: I, II, III, IV. Если нужно быстро найти знак, сначала определите четверть точки, затем обратитесь к последней строке. Строки об области определения и запрещённых углах помогают проверить, допустимо ли подставленное значение.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10, а противолежащий катет равен 6. Сначала найдём второй катет, потому что он нужен для косинуса и тангенса. Обозначим его через b.
Ответ: sin α = 3/5, cos α = 4/5, tg α = 3/4, ctg α = 4/3. Все значения положительны, поскольку α — острый угол.
Точка единичной окружности имеет координаты (−√3/2; 1/2). Нужно определить функции и четверть угла. Здесь не требуется восстанавливать треугольник: координаты уже непосредственно дают синус и косинус.
Абсцисса отрицательна, а ордината положительна, поэтому точка находится во II четверти. Ответ: sin α = 1/2, cos α = −√3/2, tg α = −√3/3, ctg α = −√3.
Упростим выражение (sin α · ctg α) / cos α и найдём допустимые значения α. Сначала заменим котангенс его определением, а ограничения проверим отдельно. Это необходимо, потому что сокращение может скрыть запрещённые значения.
Ответ: выражение равно 1 при sin α ≠ 0 и cos α ≠ 0, то есть при α ≠ πk и α ≠ π/2 + πk. Нельзя оставлять только результат 1 без указания области допустимых значений.
Путают синус с абсциссой, а косинус — с ординатой. Так бывает, когда названия катетов запоминают без связи с осями координат. Проверьте себя: на единичной окружности cos α — координата x, а sin α — координата y.
Считают, что тангенс и котангенс существуют при любом угле. Причина ошибки — механическое применение формулы без проверки знаменателя. Перед вычислением спросите: не равен ли нулю cos α для тангенса и sin α для котангенса?
Неверно определяют знак функции по четверти, ориентируясь только на величину угла. Важны не сами градусы, а знаки координат точки окружности. Найдите сначала знаки x и y, а затем определите знак отношения.
Механически применяют одинаковые ограничения к tg и ctg. У этих функций знаменатели разные: tg α = sin α / cos α, а ctg α = cos α / sin α. Выпишите формулу перед решением и отдельно проверьте именно её знаменатель.
Для понимания темы нужны отношения сторон в прямоугольном треугольнике, теорема Пифагора и свойства углов. Они позволяют переходить от геометрического рисунка к формулам.
Также понадобятся координатная плоскость, единичная окружность и радианная мера угла. Координаты объясняют знаки функций, а радианы удобно использовать в формулах периодичности.
Знания пригодятся при изучении тригонометрических тождеств, графиков и уравнений. Они также применяются при решении геометрических задач, где нужно найти сторону или угол.
Почему синус и косинус можно найти для любого угла, а тангенс и котангенс — нет?
Синус и косинус равны координатам точки единичной окружности, поэтому определены при любом угле. Тангенс делится на cos α, а котангенс — на sin α; деление на ноль невозможно.
Как быстро определить знак тригонометрической функции по четверти?
Посмотрите на знаки координат точки окружности: cos α — это абсцисса, sin α — ордината. В I четверти обе координаты положительны, во II отрицательна абсцисса, в III обе отрицательны, в IV отрицательна ордината.
Почему период тангенса равен π, а не 2π?
При увеличении угла на π обе координаты точки окружности меняют знак. В отношении sin α / cos α эти знаки сокращаются, поэтому tg(α + π) = tg α. Для котангенса рассуждение такое же.
Чем отличаются определения тригонометрических функций в треугольнике и на единичной окружности?
В прямоугольном треугольнике отношения катетов и гипотенузы задают функции только для острого угла. Единичная окружность расширяет определения на любой угол, включая отрицательные и углы больше 90°.
Можно ли найти тангенс или котангенс, если известны только синус или только косинус?
Одного значения обычно недостаточно: нужно знать второе значение или знак и четверть. Можно использовать связь sin² α + cos² α = 1, но при извлечении корня знак косинуса или синуса выбирают по четверти.
§ 10*. Синус, косинус, тангенс и котангенс угла
