"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углублённый уровни", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Формулы сложения выражают синус, косинус или тангенс суммы и разности двух углов через значения функций каждого угла по отдельности. Они помогают находить точные значения для углов, которые неудобно вычислять напрямую, например 15° или 75°, и упрощать тригонометрические выражения. Главное — не перепутать знаки: у синуса знак сохраняется, у косинуса меняется на противоположный, а для тангенса нужно проверить знаменатель.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формулы сложения — это тождества, которые выражают тригонометрическую функцию суммы или разности двух углов через функции каждого угла. Тождество верно при всех значениях переменных, для которых обе его части определены. Например, вместо непосредственного вычисления функции сложного угла можно использовать известные значения для двух более простых углов. Это позволяет находить точные значения и преобразовывать выражения.
Синус суммы и разности задаётся формулами sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β и sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β. Буквы α и β обозначают углы, а знак в правой части совпадает со знаком между ними в скобках. Поэтому для синуса суммы берут сумму произведений, а для синуса разности — их разность. Это правило помогает не потерять знак при вычислениях.
Косинус суммы и разности выражается так: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β и cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. Здесь знак между произведениями противоположен знаку внутри скобок: у суммы стоит минус, у разности — плюс. Формулы нужны, чтобы находить косинус составного угла, используя значения косинусов и синусов более простых углов. Сравнивая формулы синуса и косинуса, легко заметить их разный порядок знаков.
Тангенс суммы и разности выражается дробями: tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α tg β), tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α tg β). Тангенсы обоих углов должны существовать, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Иначе запись не определена, поэтому результат по этой формуле получить нельзя. Эти условия особенно важно проверять до подстановки чисел.
Смысл формул в том, что значение функции от двух углов можно выразить через значения функций каждого угла отдельно. Это удобно, когда исходный угол составлен из известных: например, 75° можно получить сложением 45° и 30°. Для этих частей известны точные значения синуса и косинуса, поэтому формула превращает задачу в подстановку и вычисление. Точность результата сохраняется, если использовать точные значения, а не округлённые десятичные числа.
Знаки в формулах не произвольны: формулы синуса и косинуса устроены по-разному. Для синуса суммы стоят два произведения со знаком плюс, а переход к разности меняет знак перед вторым произведением. Для косинуса суммы между произведениями стоит минус, а у косинуса разности — плюс. Запоминать это проще как пару правил: синус сохраняет знак из скобок, косинус меняет его на противоположный.
Формулу разности можно получить из формулы суммы, заменив β на противоположный угол −β. При этом cos(−β) = cos β, а sin(−β) = −sin β: косинус не меняется, синус меняет знак. Например, в формуле синуса суммы второй член после замены становится отрицательным, и получается sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β. Так видно, почему у формул разности именно такие знаки, а не просто запоминается отдельный набор.
Формулу тангенса суммы получают делением формулы синуса суммы на формулу косинуса суммы, поскольку tg x = sin x / cos x. Если разделить числитель и знаменатель на cos α cos β, появятся tg α и tg β, а знаменатель станет 1 − tg α tg β. Деление допустимо только при ненулевых косинусах α и β; кроме того, косинус суммы, то есть знаменатель полученной дроби, не должен равняться нулю. В итоге тангенсы отдельных углов должны существовать, а знаменатель формулы тангенса — быть ненулевым.
Чтобы найти точное значение функции сложного угла, сначала подберите представление исходного угла как суммы или разности углов с известными значениями функций. Затем выберите формулу для нужной функции, внимательно расставьте знаки и подставьте значения. Например, для 15° удобно взять 45° − 30°, а для 75° — 45° + 30°. В конце упростите выражение, сохраняя корни и дроби в точном виде.
| Функция | Сумма углов | Разность углов |
|---|---|---|
| Синус | sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β | sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β |
| Косинус | cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β | cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β |
| Тангенс | tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α tg β) | tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α tg β) |
Сначала найдите в таблице нужную функцию и выберите столбец по знаку между углами. Затем проверьте знак в формуле: у синуса он совпадает со знаком в скобках, у косинуса — противоположный. Для тангенса отдельно убедитесь, что значения и знаменатель дроби определены.
Угол 75° можно представить как 45° + 30°. Это удачный выбор, потому что синусы и косинусы обоих углов известны точно. Используем формулу синуса суммы, сохраняя плюс между произведениями. После подстановки останется только перемножить дроби и упростить корни.
Оба слагаемых положительны, что соответствует выбранной формуле и значению синуса угла 75° в первой четверти. В ответе оставляем корни, не заменяя их приближёнными десятичными числами. Так получаем точное значение. Ответ: sin 75° = (√6 + √2)/4.
Для угла 15° удобно выбрать разность 45° − 30°, потому что функции этих углов имеют известные точные значения. Здесь нужна формула косинуса разности, где между произведениями стоит плюс. Именно этот знак отличает её от формулы косинуса суммы. Подстановка табличных значений даст точное выражение.
Выбранные углы удобны не только потому, что их разность равна 15°, но и потому, что все четыре нужных значения известны точно. Если бы использовать приближённые значения, результат тоже был бы приближённым, а не точным. Полученное число положительно, как и должен быть косинус угла первой четверти. Ответ: cos 15° = (√6 + √2)/4.
Сначала найдём тангенс как отношение синуса к косинусу, используя результаты для 15°. Затем проверим вычисление напрямую по формуле тангенса разности 45° − 30°. Второй способ требует убедиться, что тангенсы 45° и 30° существуют и знаменатель формулы не равен нулю. Сравнение способов помогает заметить возможную ошибку в знаке или упрощении.
Оба способа дали один результат, значит, вычисления согласуются. В первом способе мы использовали значения синуса и косинуса разности, во втором — непосредственно формулу тангенса разности. Ответ: tg 15° = 2 − √3.
В формуле косинуса суммы иногда оставляют плюс: cos(α + β) = cos α cos β + sin α sin β. Это происходит, если механически переносить правило для синуса, но у косинуса знак противоположен знаку в скобках. Проверьте себя по записи: у суммы косинусов между произведениями должен стоять минус. Для разности, наоборот, нужен плюс.
В формуле синуса разности могут поставить плюс перед вторым произведением. Ошибку провоцирует сходство формул синуса суммы и разности, хотя их знаки различаются. Подставьте разность в готовую запись: sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β. Можно также проверить правило заменой β на −β и учесть, что sin(−β) меняет знак.
В формуле тангенса суммы иногда ставят плюс в знаменателе. Правильная запись содержит 1 − tg α tg β, тогда как плюс в знаменателе относится к формуле тангенса разности. Чтобы проверить себя, сверьте сразу оба знака: для суммы в числителе плюс, в знаменателе минус. Для разности в числителе минус, в знаменателе плюс.
Ещё одна ошибка — использовать формулу тангенса без проверки условий. Тангенсы α и β могут не существовать, а знаменатель дроби может оказаться нулём; тогда запись не определена. Перед вычислением проверьте, что косинусы исходных углов не равны нулю и знаменатель формулы не равен нулю. Если проверка не пройдена, эту формулу применять нельзя.
Перед изучением формул сложения нужно знать точные значения синуса, косинуса и тангенса основных углов, а также уметь выполнять действия с дробями и корнями. Эти знания нужны для подстановки и упрощения выражений в задачах. Формулы сложения, в свою очередь, позволяют вывести формулы двойного угла, подставив одинаковые углы вместо α и β. Они также помогают находить точные значения тригонометрических функций.
Дальше формулы применяются при преобразовании тригонометрических выражений и решении тригонометрических уравнений. Представляя угол как сумму или разность, можно заменить функцию сложного аргумента выражением через более простые. Это помогает привести выражения к удобному виду и связать уравнение с уже известными значениями функций. Поэтому навык выбора разложения угла пригодится во многих задачах по тригонометрии.
Как запомнить, какой знак ставить в формуле косинуса суммы?
Знак между слагаемыми противоположен знаку внутри скобок: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. Для разности знак становится плюсом.
Почему в формуле синуса знак сохраняется, а в формуле косинуса меняется?
Это следует из свойств тригонометрических функций и формул сложения: синус суммы содержит сумму двух произведений, а косинус суммы — их разность. Удобно запоминать готовое правило: синус — тот же знак, косинус — противоположный.
Как из формулы суммы получить формулу разности?
В формуле суммы заменяют β на −β. Затем используют cos(−β) = cos β и sin(−β) = −sin β, потому что косинус — чётная функция, а синус — нечётная.
Можно ли вычислять тангенс суммы, если знаменатель формулы равен нулю?
Нет. При нулевом знаменателе дробь не определена, поэтому формулу тангенса применять нельзя. В таком случае тангенс суммы либо не существует, либо нужно проверить ситуацию другим способом.
Как выбрать представление угла, чтобы удобно применить формулу сложения?
Подберите сумму или разность углов, синусы и косинусы которых известны точно, например 30°, 45° или 60°. Затем проверьте, что выбранные углы действительно дают исходный угол и что нужные значения можно подставить без приближений.
1.4. Формулы сложения
