"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углублённый уровни", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Формулы двойного угла выражают значения sin 2α, cos 2α и tg 2α через функции угла α. Они получаются из формул сложения и помогают вычислять тригонометрические значения, упрощать выражения и доказывать тождества. Особенно удобно то, что косинус двойного угла можно записать тремя способами: через квадраты синуса и косинуса, только через cos² α или только через sin² α. Выбор записи зависит от вида выражения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формула синуса двойного угла имеет вид sin 2α = 2sin α cos α. Здесь 2α — удвоенный аргумент, то есть угол, вдвое больший α; это не означает, что нужно просто удвоить значение синуса. Формула нужна, когда известны синус и косинус угла α и требуется найти синус угла 2α. Множитель cos α нельзя опускать.
Формулу косинуса двойного угла записывают так: cos 2α = cos² α − sin² α = 2cos² α − 1 = 1 − 2sin² α. Все три выражения равны и позволяют найти косинус удвоенного угла. Первую запись удобно использовать, если в задаче одновременно встречаются sin² α и cos² α. Две другие подходят, когда в выражении есть только квадрат косинуса или только квадрат синуса.
Формула тангенса двойного угла выглядит так: tg 2α = 2tg α / (1 − tg² α). Она применима, если определены обе части: cos α ≠ 0 и cos 2α ≠ 0; в записи справа это выражается условием 1 − tg² α ≠ 0. Тангенс угла не определён, когда косинус этого угла равен нулю. Поэтому перед подстановкой значений нужно проверить знаменатель.
Следствия из формул двойного угла — это равенства, полученные из основных формул с помощью тождественных преобразований. Например, из любой записи cos 2α можно выразить квадрат синуса или косинуса. Такие соотношения помогают узнавать знакомый тригонометрический фрагмент в длинном выражении. Их выбирают в зависимости от того, какие функции уже есть в условии.
Формулы синуса и косинуса двойного угла следуют из формул сложения. В формуле sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β вместо β подставляют α, потому что требуется сумма одного и того же угла с самим собой. Получается sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α. Левая часть равна sin 2α, а одинаковые слагаемые справа дают 2sin α cos α.
Для косинуса используют формулу cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. При равных аргументах она превращается в cos(α + α) = cos α cos α − sin α sin α. Так как произведение одинаковых множителей — это квадрат, получаем cos 2α = cos² α − sin² α. Знак минус сохраняется, потому что именно он стоит в формуле косинуса суммы.
Чтобы получить две другие формы косинуса двойного угла, используют основное тригонометрическое тождество sin² α + cos² α = 1. Если заменить sin² α на 1 − cos² α в разности cos² α − sin² α, получится 2cos² α − 1. Если вместо этого заменить cos² α на 1 − sin² α, выйдет 1 − 2sin² α. Поэтому записи равносильны, но каждая может быть удобнее в своей задаче.
Формулу тангенса получают из отношения синуса к косинусу: tg 2α = sin 2α / cos 2α. Подставляют уже выведенные формулы, а затем делят числитель и знаменатель на cos² α. В результате числитель становится 2tg α, а знаменатель — 1 − tg² α. При таком выводе необходимо, чтобы cos α и cos 2α не были равны нулю: иначе исходное отношение или деление не определено.
Формулы позволяют найти функции угла 2α по значениям функций угла α: достаточно подставить известные значения в нужную запись. При упрощении выражений или доказательстве тождества действует тот же принцип: распознать часть выражения как формулу и заменить её равной записью. Например, выражение с 1 − 2sin² α сразу можно представить как cos 2α. Если рядом стоит cos² α, может быть удобнее форма 2cos² α − 1.
| Функция двойного угла | Формула | Условия |
|---|---|---|
| sin 2α | 2sin α cos α | Определена при любом α |
| cos 2α | cos² α − sin² α | Определена при любом α |
| cos 2α | 2cos² α − 1 | Определена при любом α |
| cos 2α | 1 − 2sin² α | Определена при любом α |
| tg 2α | 2tg α / (1 − tg² α) | cos α ≠ 0 и cos 2α ≠ 0 |
Первые четыре строки не требуют дополнительных ограничений: синус и косинус определены при любом действительном угле. Формулу тангенса используйте только после проверки условий в последнем столбце. Для преобразований выбирайте ту запись cos 2α, чьи квадраты уже присутствуют в выражении.
Задача 1. Найти sin 2α и cos 2α, если sin α = 3/5, а α — острый угол. Чтобы применить формулы двойного угла, сначала нужно узнать cos α. Основное тождество даёт его квадрат, а условие об остром угле помогает выбрать правильный знак. После этого подставим значения в формулы синуса и косинуса двойного угла.
Задача 2. Упростить выражение 1 − 2sin² α. Здесь уже есть квадрат синуса и число 1, поэтому искать общий знаменатель или раскрывать дополнительные скобки не требуется. Сравним выражение с формами формулы косинуса двойного угла. Запись 1 − 2sin² α совпадает с одной из них полностью.
Задача 3. Доказать тождество (1 − tg² α) / (1 + tg² α) = cos 2α. Сначала выясним, когда исходная левая часть определена: tg α должна существовать, а её знаменатель не должен обращаться в ноль. Затем преобразуем дробь через синус и косинус, чтобы связать её с формулой косинуса двойного угла. Это позволяет заодно проверить, что равенство верно на всей допустимой области.
Ошибка — записать sin 2α = 2sin α. Её допускают, потому что в названии формулы есть слова «двойной угол» и кажется, будто удваивается значение синуса. Но из формулы сложения следует дополнительный множитель cos α: sin 2α = 2sin α cos α. Проверьте запись выводом через sin(α + α), а не только сходством обозначений.
Иногда три формы cos 2α считают отдельными формулами, не связанными друг с другом. Причина в том, что записи выглядят по-разному, хотя переход между ними основан на sin² α + cos² α = 1. Подставьте в cos² α − sin² α равенство cos² α = 1 − sin² α или sin² α = 1 − cos² α. Если переход приводит к нужной форме, значит, это равносильные записи.
Формулу tg 2α нельзя применять, не проверив, что tg α определён и 1 − tg² α ≠ 0. Иначе можно разделить на ноль или использовать равенство вне области определения; также должен быть определён tg 2α. Перед вычислением проверьте cos α ≠ 0 и cos 2α ≠ 0. В преобразованной записи убедитесь, что знаменатель 1 − tg² α не равен нулю.
При нахождении cos α по известному sin α часто забывают, что извлечение квадратного корня даёт два возможных знака. Так происходит, если сразу записать cos α = √(1 − sin² α), не учитывая положение угла. По основному тождеству сначала находят cos² α, а знак выбирают по четверти: в первой четверти косинус положителен, во второй — отрицателен. Проверка знака особенно важна при вычислении sin 2α.
Для вывода формул двойного угла нужны формулы синуса и косинуса суммы, основное тригонометрическое тождество sin² α + cos² α = 1, а также определения тангенса и косинуса. Поэтому уверенное владение этими темами помогает понять не только готовые равенства, но и ограничения на их применение. Дальше формулы двойного угла пригодятся при преобразовании тригонометрических выражений, доказательстве тождеств и решении уравнений. Их также используют, чтобы связать значения функций угла α со значениями функций угла 2α.
Почему в формуле sin 2α появляется множитель cos α?
Из формулы сложения следует: sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α. Два одинаковых слагаемых складываются, поэтому получается sin 2α = 2sin α cos α, а не 2sin α.
Как получить формулу cos 2α из формул сложения?
Подставьте в формулу cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β равные аргументы β = α. Тогда cos(α + α) = cos² α − sin² α, то есть cos 2α = cos² α − sin² α.
Почему у cos 2α есть три равносильные записи?
Основное тригонометрическое тождество даёт равенство sin² α + cos² α = 1. Подставляя cos² α = 1 − sin² α или sin² α = 1 − cos² α в запись cos² α − sin² α, получаем две другие формы.
При каких значениях α можно применять формулу tg 2α?
Нужно, чтобы были определены и tg α, и tg 2α: cos α ≠ 0 и cos 2α ≠ 0. В записи через tg α это также означает, что знаменатель 1 − tg² α не равен нулю.
Как выбрать подходящую формулу двойного угла при упрощении выражения?
Посмотрите, какие квадраты уже есть в выражении. Для сочетания cos² α − sin² α используйте эту запись напрямую, а при наличии только cos² α выберите 2cos² α − 1; при наличии только sin² α — 1 − 2sin² α.
1.5. Формулы двойного угла и следствия из них
