1.6. Формулы приведения

Определения и обозначения

Формулы приведения — равенства, позволяющие выразить значение тригонометрической функции угла вида kπ/2 ± α через функцию угла α. Здесь k — целое число, а α — некоторый угол. Такие равенства помогают заменить сложный аргумент более простым и использовать известные значения функций.

Приведение аргумента — преобразование угла к виду α или выражение значения тригонометрической функции этого угла через функцию от α. Аргументом называют угол, от которого зависит значение функции, например x в записи sin x. Приведение удобно, когда сложный угол можно связать с табличным или заданным значением.

Кофункция — функция, в которую переходит исходная при нечётном числе четвертей π: синус заменяется косинусом, тангенс — котангенсом и наоборот. Эти пары связаны соотношениями для дополнительных углов, например sin(π/2 − α) = cos α. Понятие кофункции подсказывает, какую функцию записать после преобразования угла.

Как это устроено

Формулы приведения получают из периодичности и симметрий тригонометрических функций, а также из равенств для дополнительных углов. На единичной окружности синус и косинус соответствуют координатам точки, поэтому поворот или отражение меняет их знаки и может поменять координаты местами. Тангенс и котангенс связаны с отношением этих координат. Поэтому преобразование угла можно заменить изменением функции и знака.

В угле kπ/2 ± α чётное k означает, что к α прибавлено целое число π. При таком сдвиге синус остаётся синусом, а косинус — косинусом; может измениться только знак. При нечётном k сдвиг включает нечётное число четвертей π, и синус с косинусом меняются ролями. По той же причине тангенс переходит в котангенс, а котангенс — в тангенс.

Знак выбирают по четверти, которой принадлежит весь исходный угол kπ/2 ± α. Это следует из знаков функций на единичной окружности: например, синус положителен в первой и второй четвертях, а косинус — в первой и четвёртой. Знак α сам по себе не показывает, в какой четверти находится сумма или разность углов. Поэтому сначала определяют расположение исходного угла, а уже затем ставят знак перед функцией α.

Если в угле стоит большой коэффициент, сначала используют периодичность, чтобы заменить его на равный по значению угол меньшего размера. У синуса и косинуса периоды равны 2π, у тангенса и котангенса — π. После сокращения угол обычно сводится к одному из видов π/2 ± α, π ± α или 2π ± α. Такой порядок уменьшает вероятность ошибиться в четверти и знаке.

Для тангенса и котангенса действуют те же правила замены функции и выбора знака, потому что они связаны с синусом и косинусом отношением. Например, tg x = sin x / cos x, поэтому тангенс не определён, когда cos x = 0. Аналогично ctg x = cos x / sin x и не определён при sin x = 0. Перед применением формулы нужно проверить, что исходная функция существует.

Формулы приведения для основных видов углов

Чтобы найти нужное значение, выберите строку с данным углом и столбец нужной функции. В результате запишите функцию от α и указанный в таблице знак. Если угол не совпадает с табличным видом, сначала сократите его по периодичности.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить sin(π/2 − α), если cos α = 3/5.

Нужно узнать, какая функция от α получится после приведения. Угол имеет вид π/2 − α, поэтому синус переходит в кофункцию — косинус. Знак можно проверить по таблице: для этого вида угла он положительный.

1. Применяем формулу: sin(π/2 − α) = cos α.
2. Подставляем известное значение cos α = 3/5.
3. Получаем sin(π/2 − α) = 3/5.

Ответ: 3/5.

Задача 2. Упростить cos(π + α) + tg(π − α).

В выражении два слагаемых, поэтому каждое преобразуем отдельно. В углах π + α и π − α функция сохраняется, поскольку сдвиг на π не меняет её вид. Однако расположение углов относительно π различается, поэтому знаки у результатов будут разными.

1. Для первого слагаемого по формуле cos(π + α) = −cos α.
2. Для второго слагаемого используем tg(π − α) = −tg α.
3. Складываем результаты: −cos α − tg α.

Ответ: −cos α − tg α.

Задача 3. Вычислить sin(17π/2 − α), если sin α = 4/5 и α — острый угол.

Коэффициент при π/2 велик, поэтому сначала сокращаем угол периодичностью синуса. Его период равен 2π, то есть 4π/2; из 17π/2 можно вычесть 16π/2, не изменив значение синуса. После сокращения останется дополнительный угол π/2 − α.

1. Используем периодичность: sin(17π/2 − α) = sin(π/2 − α).
2. Приводим угол: sin(π/2 − α) = cos α.
3. Так как α острый, cos α положителен. Из sin² α + cos² α = 1 получаем cos α = √(1 − (4/5)²) = 3/5.

Ответ: 3/5.

Типичные ошибки

Ошибка: менять функцию на кофункцию при любом k. Это происходит, если запомнить отдельные формулы, но не связать их с чётностью числа четвертей π. Перед преобразованием проверьте, чётное или нечётное k: только при нечётном k функция меняется.

Ошибка: выбирать знак по знаку α. Ученик видит минус перед α и автоматически ставит минус перед ответом, хотя знак определяется четвертью всего угла. Найдите эту четверть и проверьте знак исходной функции на ней.

Ошибка: путать знаки в формулах для π − α и π + α. Эти углы расположены по разные стороны от π, поэтому, например, sin(π − α) = sin α, но sin(π + α) = −sin α. Для проверки можно взять острый α и посмотреть, в каких четвертях лежат оба угла.

Ошибка: применять формулу для tg или ctg там, где функция не определена. Такое случается, если проверяют только правило приведения и забывают об исходном отношении синуса и косинуса. Проверьте знаменатель: для tg x он равен cos x, для ctg x — sin x, и он не должен обращаться в ноль.

Связь с другими темами

Для работы с формулами приведения нужны определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также единичная окружность. По четвертям на окружности определяют знак функции, а периодичность позволяет уменьшить большой угол. Если эти сведения знакомы, правила приведения можно не заучивать по отдельности, а объяснять через положение угла.

Формулы пригодятся при упрощении тригонометрических выражений и вычислении значений функций. Они также помогают преобразовывать уравнения, чтобы сравнить их с известными формулами или найти стандартные значения углов. Поэтому умение приводить аргумент становится инструментом для дальнейших тем тригонометрии.

Что запомнить

• Формулы приведения выражают функцию угла kπ/2 ± α через функцию угла α.
• При чётном k функция сохраняется.
• При нечётном k функция заменяется на кофункцию.
• Знак формулы определяют по четверти исходного угла.
• Для больших углов сначала применяют периодичность.
• Перед применением формул для tg и ctg проверяют допустимость выражений.